Giải mục 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 63 SGK Toán 11 Cánh diều

Xét dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = n^{2}$ và cho biết giá trị của $u_{n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì được hay không kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Phương pháp giải:

Xác định các giá trị của dãy số dựa vào công thức tính số hạng tổng quát.

Lời giải chi tiết:

Ta có bảng giá trị sau:

n	1	2	3	...	100	...	1001
$u_{n}$	1	4	9	...	10 000	...	1 002 001

Từ đó ta có các nhận xét sau:

+) Kể từ số hạng thứ 2 trở đi thì $u_{n} > 1$ .

+) Kể từ số hạng thứ 101 trở đi thì $u_{n} > 10000$ .

...

Vậy ta thấy $u_{n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

LT-VD7

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 7 trang 64 SGK Toán 11 Cánh diều

Tính $lim (- n^{3})$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa về dãy số có giới hạn vô cực.

- Dãy số $(u_{n})$ được gọi là có giới hạn $+ \infty$ khi $n \to + \infty$ nếu $u_{n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = + \infty$ hay $u_{n} \to + \infty$ khi $n \to + \infty$ .

- Dãy số $(u_{n})$ được gọi là có giới hạn $- \infty$ khi $n \to + \infty$ nếu $lim_{x \to + \infty} (- u_{n}) = + \infty$ , kí hiệu $lim_{x \to + \infty} u_{n} = - \infty$ hay $u_{n} \to - \infty$ khi $n \to + \infty$ .

Lời giải chi tiết:

Xét dãy $(u_{n}) = n^{3}$ .

Với M là số dương bất kì, ta thấy $u_{n} > M \Leftrightarrow n^{3} > M \Leftrightarrow n > \sqrt[3]{M}$ .

Vậy với các số tự nhiên $n > \sqrt[3]{M}$ thì $u_{n} > M$ . Do đó, $lim n^{3} = + \infty \Rightarrow lim (- n^{3}) = - \infty$ .

LT-VD8

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 8 trang 64 SGK Toán 11 Cánh diều

Chứng tỏ rằng $lim \frac{n - 1}{n^{2}} = 0$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết một số giới hạn cơ bản: $lim \frac{1}{n} = 0; lim \frac{1}{n^{k}} = 0$ với k là số nguyên dương cho trước.

Lời giải chi tiết:

$lim \frac{n - 1}{n^{2}} = lim (\frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}}) = lim \frac{1}{n} - lim \frac{1}{n^{2}} = 0$ .