Giải mục 4 trang 77, 78

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 77 SGK Toán 12 Cánh diều

a) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), C’(1;1;1). Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto vuông góc với cả hai vecto $\vec{A B}$ và $\vec{A D}$ .

b) Cho hai vecto $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ không cùng phương. Xét vecto $\vec{w} = (y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}; z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}; x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1})$ .

- Tính $\vec{w} . \vec{u}$ , $\vec{w} . \vec{v}$ .

- Vecto $\vec{w}$ có vuông góc với cả hai vecto $\vec{u}$ và $\vec{v}$ hay không?

Phương pháp giải:

Cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ , $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ , ta có biểu thức tọa độ của tích vô hướng $\vec{a} . \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$ và $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\vec{A B} = (1; 0; 0)$ , $\vec{A D} = (0; 1; 0)$ .

$A^{'} (0; 0; 1) \Rightarrow \vec{A A^{'}} = (0; 0; 1)$ .

Ta có: $\vec{A A^{'}} . \vec{A B} = 0.1 + 0.0 + 1.0 = 0 \Leftrightarrow \vec{A A^{'}} ⊥ \vec{A B}$ .

$\vec{A A^{'}} . \vec{A D} = 0.0 + 0.1 + 1.0 = 0 \Leftrightarrow \vec{A A^{'}} ⊥ \vec{A D}$ .

Vậy $\vec{A A^{'}}$ vuông góc với cả hai vecto $\vec{A B}$ và $\vec{A D}$ .

b) $\vec{w} . \vec{u} = (y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}) x_{1} + (z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}) y_{1} + (x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}) z_{1}$

$= x_{1} y_{1} z_{2} - x_{1} y_{2} z_{1} + y_{1} z_{1} x_{2} - y_{1} z_{2} x_{1} + z_{1} x_{1} y_{2} - z_{1} x_{2} y_{1} = 0$ .

$\vec{w} . \vec{v} = (y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}) x_{2} + (z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}) y_{2} + (x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}) z_{2}$

$= x_{2} y_{1} z_{2} - x_{2} y_{2} z_{1} + y_{2} z_{1} x_{2} - y_{2} z_{2} x_{1} + z_{2} x_{1} y_{2} - z_{2} x_{2} y_{1} = 0$ .

Vậy vecto $\vec{w}$ có vuông góc với cả hai vecto $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 78 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto $\vec{u} = (1; 0; - 3)$ và $\vec{v} = (0; 0; 3)$ . Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto $\vec{w}$ khác $\vec{0}$ vuông góc với cả hai vecto $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tích có hướng.

Lời giải chi tiết:

$\vec{w} = [\vec{u}, \vec{v}] = (| \begin{matrix} 0 & - 3 \\ 0 & 3 \end{matrix} |; | \begin{matrix} - 3 & 1 \\ 3 & 0 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} |)$

$(0.3 - 0. (- 3); - 3.0 - 3.1; 1.0 - 0.0) = (0; - 3; 0)$ .

Vậy $\vec{w} = (0; 3; 0)$ vuông góc với cả hai vecto $\vec{u}$ và $\vec{v}$ .