Giải mục 4 trang 91, 92

HĐ 5

a) Với $h\ne 0,$ biến đổi hiệu $\sin \left(x+h\right)-\sin x$ thành tích.

b) Sử dụng công thức giới hạn $\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin h}{h}=1$ và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.

Phương pháp giải:

- Công thức lượng giác $\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}.\sin \frac{a-b}{2}$

- $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

Lời giải chi tiết:

a) $\sin \left(x+h\right)-\sin x=2\cos \frac{2x+h}{2}.\sin \frac{h}{2}$

b) Với $x_0$ bất kì, ta có:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\sin x-\sin x_0}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{2\cos \frac{x+x_0}{2}.\sin \frac{x-x_0}{2}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\sin \frac{x-x_0}{2}}{\frac{x-x_0}{2}}.\underset{x\to x_0}{lim}\cos \frac{x+x_0}{2}$

$=\cos x_0$.

Vậy hàm số y = sin x  có đạo hàm là hàm số $y^{\prime }=\cos x$.

LT 3

Tính đạo hàm của hàm số $y=\sin \left(\frac{\pi }{3}-3x\right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${\left(\sin u\right)}^{\prime }=u^{\prime }.\cos u$.

Lời giải chi tiết:

$y^{\prime }={\left(\frac{\pi }{3}-3x\right)}^{,}\cos \left(\frac{\pi }{3}-3x\right)$

$=-3\cos \left(\frac{\pi }{3}-3x\right)$.

HĐ 6

Bằng cách viết $y=\cos x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$, tính đạo hàm của hàm số $y=\cos x$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${\left(\sin u\right)}^{\prime }=u^{\prime }.\cos u$.

Lời giải chi tiết:

$y^{\prime }={\left(\cos x\right)}^{\prime }={\left(\frac{\pi }{2}-x\right)}^{,}\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

$=-\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=-\sin x$.

LT 4

Tính đạo hàm của hàm số $y=2\cos \left(\frac{\pi }{4}-2x\right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${\left(\cos u\right)}^{\prime }=-u^{\prime }.\sin u$

Lời giải chi tiết:

$y^{\prime }=-2{\left(\frac{\pi }{4}-2x\right)}^{,}\sin \left(\frac{\pi }{4}-2x\right)$

$=4\sin \left(\frac{\pi }{4}-2x\right)$.

HĐ 7

a) Bằng cách viết $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z\right)$, tính đạo hàm của hàm số $y=\tan x$.

b) Sử dụng đẳng thức $\cot x=\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ với $x\ne k\pi \left(k\in Z\right),$ tính đạo hàm của hàm số $y=\cot x$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức ${\left(\sin x\right)}^{\prime }=\cos x,{\left(\cos x\right)}^{\prime }=-\sin x$.

- Sử dụng quy tắc ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{,}=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$.

Lời giải chi tiết:

a) $y^{\prime }={\left(\tan x\right)}^{\prime }={\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{,}$

$=\frac{{\left(\sin x\right)}^{\prime }.\cos x-\sin x.{\left(\cos x\right)}^{\prime }}{{\cos }^{2}x}$

$=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.

b) ${\left(\cot x\right)}^{\prime }={\left[\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\right]}^{,}$

$=\frac{-1}{{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)}$

$=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ (dựa vào ý a).

LT 5

Tính đạo hàm của hàm số $y=2{\tan }^{2}x+3\cot \left(\frac{\pi }{3}-2x\right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${\left(\tan x\right)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$; ${\left(\cot u\right)}^{\prime }=-\frac{u^{\prime }}{{\sin }^{2}u}$.

Lời giải chi tiết:

$y^{\prime }=2{\left({\tan }^{2}x\right)}^{\prime }+3{\left[\cot \left(\frac{\pi }{3}-2x\right)\right]}^{\prime }$

$=2.2\tan x.{\left(\tan x\right)}^{\prime }+3.\frac{-{\left(\frac{\pi }{3}-2x\right)}^{\prime }}{{\sin }^2\left(\frac{\pi }{3}-2x\right)}$

$=4\tan x.\frac{1}{{\cos }^{2}x}+\frac{6}{{\sin }^2\left(\frac{\pi }{3}-2x\right)}$.

VD 1

Một vật chuyển động có phương trình $s\left(t\right)=4\cos \left(2\pi t-\frac{\pi }{8}\right)\left(m\right),$ với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Phương pháp giải:

- Ý nghĩa vật lí: $v=s^{\prime }$ (đạo hàm của quãng đường là vận tốc).

- Công thức ${\left(\cos u\right)}^{\prime }=-u^{\prime }.\sin u$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$v\left(t\right)=s^{\prime }\left(t\right)=4{\left[\cos \left(2\pi t-\frac{\pi }{8}\right)\right]}^{\prime }$

$=-4{\left(2\pi t-\frac{\pi }{8}\right)}^{\prime }.\sin \left(2\pi t-\frac{\pi }{8}\right)$

$=-8\pi \sin \left(2\pi t-\frac{\pi }{8}\right)$.

Vậy vận tốc của vật khi t = 5 giây là:

$v\left(5\right)=-8\pi \sin \left(10\pi -\frac{\pi }{8}\right)\approx 9,6$ (m/s).