Giải mục 4 trang 92, 93

HĐ Khám phá 4

a) Cho điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta đã biết $\vec{M B} = - \vec{M A} = \vec{A M} .$ Hoàn thành phép cộng vectơ sau: $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{M A} + \vec{A M} = \vec{M M} = ?$

b) Cho điểm G là trọng tâm của tam giác ABC có trung tuyến AI. Lấy D là điểm đối xứng với G qua I. Ta có BGCD là hình bình hành và G là trung điểm của đoạn thẳng AD. Với lưu ý rằng $\vec{G B} + \vec{G C} = \vec{G D}$ và $\vec{G A} = \vec{D G}$ , hoàn thành các phép cộng vectơ sau:

$\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{G A} + \vec{G D} = \vec{D D} = ?$

Phương pháp giải:

a) Thay thế các vectơ bằng nhau $\vec{M B} = - \vec{M A} = \vec{A M} .$

b) Bước 1: Áp dụng quy tắc hình bình hành trên BGCD

Bước 2: Áp dụng tính chất trung điểm vừa tìm được ở câu a) $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$

(với M là trung điểm của AB)

Lời giải chi tiết:

a) $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{M A} + \vec{A M} = \vec{M M} = \vec{0}$ (vì vectơ $\vec{M B} = - \vec{M A} = \vec{A M} .$ )

b) Xét hình bình hành BGCD ta có: $\vec{G B} + \vec{G C} = \vec{G D}$

$\Rightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{G A} + \vec{G D} = \vec{D G} + \vec{G D} = \vec{D D} = \vec{0}$

(vì $\vec{G A} = - \vec{G D} = \vec{D G}$ )

Thực hành 5

Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Tìm ba điểm M, N, P thỏa mãn:

a) $\vec{M A} + \vec{M D} + \vec{M B} = \vec{0}$

b) $\vec{N D} + \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$

c) $\vec{P M} + \vec{P N} = \vec{0}$

Phương pháp

a) Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ (với G là trọng tâm của tam giác ABC)

b) Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

c) Sử dụng tính chất trung điểm $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$ (với M là trung điểm của AB)

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ (với G là trọng tâm của tam giác ABC)

b) Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

c) Sử dụng tính chất trung điểm $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$ (với M là trung điểm của AB)

Lời giải chi tiết:

a) Áp dụng tính chất trọng tâm ta có: $\vec{M A} + \vec{M D} + \vec{M B} = \vec{0}$

Suy ra M là trọng tâm của tam giác ADB

Vậy M nằm trên đoạn thẳng AO sao cho $A M = \frac{2}{3} A O$

b) Tiếp tục áp dụng tính chất trọng tâm $\vec{N D} + \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$

Suy ra N là trọng tâm của tam giác BCD

Vậy N nằm trên đoạn thẳng OD sao cho $O N = \frac{1}{3} O D$

c) Áp dụng tính chất trung điểm ta có: $\vec{P M} + \vec{P N} = \vec{0}$

Suy ra P là trung điểm của đoạn thẳng MN

Vậy điểm P trùng với điểm O