Giải mục 5 trang 103, 104

Hoạt động 4

a) Trong Hình 70, sàn nhà và trần nhà của căn phòng gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng song song $(P), (Q)$ . Chiều cao của căn phòng là 3 m.

Chiều cao đó gợi nên khái niệm gì trong hình học liên quan đến hai mặt phẳng song song $(P), (Q)$ ?

b) Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau. Xét điểm $I$ tuỳ ý trong mặt phẳng $(P)$ , lấy $K$ là hình chiếu của $I$ trên $(Q)$ (Hình 71). Khoảng cách $I K$ từ điểm $I$ đến mặt phẳng $(Q)$ có phụ thuộc vào vị trí của điểm $I$ trong mặt phẳng $(P)$ hay không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của hai mặt phẳng song song.

Lời giải chi tiết:

a) Khoảng cách đó gợi nên khái niệm khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Trên mặt phẳng $(P)$ lấy điểm $J$ khác $I$ .

Kẻ $J H ⊥ (Q) (H \in (Q))$

$\Rightarrow H K I J$ là hình chữ nhật $\Rightarrow I K = J H$

$\Rightarrow d (I, (Q)) = d (J, (Q))$

Vậy khoảng cách $I K$ từ điểm $I$ đến mặt phẳng $(Q)$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $I$ trong mặt phẳng $(P)$ .

Luyện tập 4

Cho hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có cạnh bên bằng $a$ , góc giữa đường thẳng $A A^{'}$ và mặt phẳng $(A B C)$ bằng $60^{\circ}$ . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(A B C)$ và $(A^{'} B^{'} C^{'})$ .

Phương pháp giải:

Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Tính khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng còn lại.

Lời giải chi tiết:

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A^{'}$ lên $(A B C)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A^{'} H ⊥ (A B C) \\ \Rightarrow (A A^{'}, (A B C)) = (A A^{'}, A H) = \hat{A^{'} A H} \end{array}$

$Δ A A^{'} H$ vuông tại $H \Rightarrow A^{'} H = A A^{'} . \sin \hat{A^{'} A H} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Vì $(A B C) ∥ (A^{'} B^{'} C^{'})$ nên:

$d ((A B C), (A^{'} B^{'} C^{'})) = d (A^{'}, (A B C)) = A^{'} H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$