Giải mục 5 trang 12, 13

HĐ Khám phá 5

Xét hai mệnh đề dạng $P\Rightarrow Q$ sau:

“Nếu ABC là tam giác đều thì nó có hai góc bằng ${60}^o$”;

“Nếu $a=2$ thì $a^2-4=0$”.

a) Chỉ ra P, Q và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Với mỗi mệnh đề đã cho, phát biểu mệnh đề $Q\Rightarrow P$ và xét tính đúng sai của nó.

Phương pháp giải:

Mệnh đề $Q\Rightarrow P$ phát biểu là “Nếu Q thì P”

Lời giải chi tiết:

a)

+) Mệnh đề R: “Nếu ABC là tam giác đều thì nó có hai góc bằng ${60}^o$” có dạng $P\Rightarrow Q$, với

P: “ABC là tam giác đều” và Q: “Tam giác ABC có hai góc bằng ${60}^o$”

Ta thấy khi P đúng thì Q cũng đúng. Do đó $P\Rightarrow Q$ đúng hay R đúng.

+) Mệnh đề T: “Nếu $a=2$ thì $a^2-4=0$” có dạng $P\Rightarrow Q$, với:

P: “$a=2$” và Q: “$a^2-4=0$”.

Ta thấy khi P đúng thì Q cũng đúng. Do đó $P\Rightarrow Q$ đúng hay T đúng.

b) Mệnh đề $Q\Rightarrow P$ của hai mệnh đề trên là:

“Nếu ABC có hai góc bằng ${60}^o$ thì nó là tam giác đều”, đúng.

“Nếu $a^2-4=0$ thì $a=2$” sai (vì thiếu nghiệm $a=-2$).

Thực hành 6

Xét hai mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”;

Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

a) Phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo của nó.

b) Hai mệnh đề P và Q có tương đương không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” hoặc “khi và chỉ khi” để phát biểu định lí $P\iff Q$ theo hai cách khác nhau.

Phương pháp giải:

a)

Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ phát biểu là “Nếu P thì Q”, “P kéo theo Q” hoặc “Từ P suy ra Q”.

Mệnh đề $Q\Rightarrow P$ phát biểu là “Nếu Q thì P”

b) Hai mệnh đề P và Q là tương đương nếu cả hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng.

Phát biểu:

“P là điều kiện cần và đủ để có Q” (hoặc “Q là điều kiện cần và đủ để có P”)

Hoặc “P khi và chỉ chi Q”.

Lời giải chi tiết:

a)

Mệnh đề $P\Rightarrow Q$: “Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì nó là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”

Mệnh đề $Q\Rightarrow P$: “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì nó là hình vuông”

b)

Theo dấu hiệu nhận biết hình vuông, hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng. Do đó, P và Q là hai mệnh đề tương đương. Ta có thể phát biểu thành định lí như sau:

 “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện cần và đủ để nó là hình vuông”

Hoặc “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi nó là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”