Giải mục 5 trang 17, 18, 19, 20

Hoạt động 13

Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định. Với mỗi điểm M (M khác O) trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM, OM') = 90° (Hình 26).

Phương pháp giải:

- Nếu tia Om quay quanh gốc O của nó theo một chiều cố định bắt đầu từ vị trí tia Oa và dừng ở vị trí tia Ob thì ta nói tia Om quét một góc lượng giác có tia đầu Oa, tia cuối Ob.

Kí hiệu: (Oa, Ob).

- Xác định điểm M' thỏa mãn điều kiện: OM' = OM và góc lượng giác (OM, OM') = 90° 

Lời giải chi tiết:

Cách xác định:

- Nối O với M;

- Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OM, trên đường thẳng, lấy điểm M' theo chiều dương sao cho OM' = OM.

Luyện tập 8

Cho tam giác đều ABC có trọng tâm O. Xác định ảnh của các điểm A, B, C, qua phép quay tâm O với góc quay – 120°.

Phương pháp giải:

Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác $\phi$ không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho $OM=O{M}^{\prime }$ và góc lượng giác $\left(OM,O{M}^{\prime }\right)=\phi$ được gọi là phép quay tâm O với góc quay $\phi$, kí hiệu $Q_{\left(O,\phi \right)}$. O gọi là tâm quay, $\phi$ gọi là góc quay.

Lời giải chi tiết:

Ta có tam giác ABC đều có O là trọng tâm nên $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COA}={120}^{\circ }$ và $OA=OB=OC$. Vì phép quay với góc quay – 120° có chiều quay cùng chiều kim đồng hồ nên ảnh của các điểm A, B, C qua phép quay tâm O với góc quay – 120° lần lượt là các điểm C, A, B.

Hoạt động 14

Trong Hình 28, cho các điểm M', N' lần lượt là ảnh của các điểm M, N qua phép quay tâm O với góc quay φ.

a) Hai tam giác OM'N' và OMN có bằng nhau hay không?

b) So sánh hai đoạn thẳng M'N' và MN.

Phương pháp giải:

Xét 2 tam giác OM'N' và OMN bằng nhau theo trường hợp c – g – c. Từ đó so sánh hai đoạn thẳng M'N' và MN.

Lời giải chi tiết:

a) Vì M', N' lần lượt là ảnh của các điểm M, N qua phép quay tâm O với góc quay $\phi$ nên $OM=O{M}^{\prime },ON=O{N}^{\prime }.$

Ta có: 

$\begin{array}{c}\widehat{MON}+\widehat{NO{M}^{\prime }}=\widehat{MO{M}^{\prime }}=\phi \\ \widehat{NO{M}^{\prime }}+\widehat{M^{\prime }O{N}^{\prime }}=\widehat{NO{N}^{\prime }}=\phi \end{array}$

Suy ra $\widehat{MON}=\widehat{M^{\prime }O{N}^{\prime }}$

Xét hai tam giác OM'N' và OMN ta có:

OM = OM' (cmt)

$\widehat{MON}=\widehat{M^{\prime }O{N}^{\prime }}$ cmt)

ON = ON' (cmt)

Do đó, hai tam giác OM'N' và OMN bằng nhau (c – g – c).

b) Từ $\Delta O{M}^{\prime }{N}^{\prime }=\Delta OMN$, suy ra M'N' = MN (hai cạnh tương ứng).

Hoạt động 15

Xét phép quay tâm O với góc quay 90° (Hình 29).

a) Xác định các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C qua phép quay trên.

b) Nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.

Phương pháp giải:

Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác $\phi$ không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho $OM=O{M}^{\prime }$ và góc lượng giác $\left(OM,O{M}^{\prime }\right)=\phi$ được gọi là phép quay tâm O với góc quay $\phi$, kí hiệu $Q_{\left(O,\phi \right)}$. O gọi là tâm quay, $\phi$ gọi là góc quay.

Lời giải chi tiết:

a) Các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C qua phép quay tâm O, góc quay 90° được xác định như hình vẽ trên.

b) Nhận thấy ba điểm A', B', C' thẳng hàng và B' nằm giữa A' và C'.

Luyện tập 9

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I(2; 3) bán kính R = 2. Xác định ảnh của (C) qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90°.

Phương pháp giải:

Tìm ảnh của tâm I qua phép quay bằng cách:

Phép quay tâm O, góc 90⁰: Khi đó: $\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=-y\\ y^{\prime }=x\end{array}$

Từ đó xác định ảnh của (C)

Lời giải chi tiết:

Ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90° là một đường tròn có bán kính R' = R = 2, gọi là (C').

Gọi I' là tâm của đường tròn (C'). Khi đó ta có I' là ảnh của I qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90°. Suy ra I'(– 3; 4).

Vậy ảnh đường tròn (C) qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90° là đường tròn (C') có tâm I'(– 3; 4), bán kính R' = 2.