Giải mục 5 trang 41, 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

HĐ9

Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 41 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong không gian $O x y z$ , cho mặt phẳng $(α)$ có phương trình $A x + B y + C z + D = 0$ và điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ . Gọi $M_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ là hình chiếu vuông góc của $M_{0}$ trên $(α)$ (Hình 17).

a) Nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\vec{M_{1} M_{0}} = (x_{0} - x_{1}; y_{0} - y_{1}; z_{0} - z_{1})$ và $\vec{n} = (A; B; C)$ .

b) Tính $\vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n}$ theo $A$ , $B$ , $C$ , $D$ và toạ độ của $M_{0}$ .

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức $| \vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n} | = | \vec{M_{1} M_{0}} | . | \vec{n} |$ .

d) Từ các kết quả trên suy ra cách tính $d (M_{0}, (α)) = | \vec{M_{1} M_{0}} | = \frac{| \vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n} |}{| \vec{n} |}$ .

Phương pháp giải:

a) Xét vị trí tương đối của giá của hai vectơ $\vec{M_{1} M_{0}}$ và $\vec{n}$ và kết luận.

b) Sử dụng công thức tích vô hướng để tính tích $\vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n}$ .

c) Sử dụng công thức nhân của hai vectơ $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ để chứng minh rằng $| \vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n} | = | \vec{M_{1} M_{0}} | . | \vec{n} |$ .

d) Từ câu c, rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ có giá vuông góc với $(α)$ . Do $M_{1}$ là hình chiếu của $M_{0}$ trên $(α)$ nên $M_{1} M_{0} ⊥ (α)$ , suy ra $\vec{M_{1} M_{0}}$ có giá vuông góc với $(α)$ .

Hai vectơ $\vec{M_{1} M_{0}}$ và $\vec{n}$ cùng có giá vuông góc với $(α)$ , nên chúng là hai vectơ cùng phương.

b) Ta có:

$\vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n} = A (x_{0} - x_{1}) + B (y_{0} - y_{1}) + C (z_{0} - z_{1}) = A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} - (A x_{1} + B y_{1} + C z_{1})$

Do $M_{1} \in (α)$ nên $A x_{1} + B y_{1} + C z_{1} + D = 0 \Rightarrow D = - (A x_{1} + B y_{1} + C z_{1})$ .

Như vậy $\vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n} = A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D$ .

c) Ta có $\vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n} = | \vec{M_{1} M_{0}} | . | \vec{n} | . \cos (\vec{M_{1} M_{0}}, \vec{n})$ .

Do $\vec{M_{1} M_{0}}$ và $\vec{n}$ cùng phương, nên góc giữa hai vectơ này bằng $0^{o}$ (cùng chiều) hoặc $180^{o}$ (ngược chiều).

Dễ thấy rằng $\cos 0^{o} = 1$ và $\cos 180^{o} = - 1$ . Suy ra $| \cos 0^{o} | = | \cos 180^{o} | = 1$ , điều này có nghĩa là $| \cos (\vec{M_{1} M_{0}}, \vec{n}) | = 1$ .

Như vậy, $| \vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n} | = | \vec{M_{1} M_{0}} | . | \vec{n} | . | \cos (\vec{M_{1} M_{0}}, \vec{n}) | = | \vec{M_{1} M_{0}} | . | \vec{n} |$ .

d) Ta có $M_{1} M_{0} ⊥ (α)$ và $M_{1} \in (α)$ nên khoảng cách từ $M_{0}$ đến mặt phẳng $(α)$ là đoạn thẳng $M_{1} M_{0}$ . Suy ra $| \vec{M_{1} M_{0}} | = M_{1} M_{0} = d (M_{0}, (α))$ .

Vậy ta có $d (M_{0}, (α)) = | \vec{M_{1} M_{0}} | = \frac{| \vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n} |}{| \vec{n} |}$ .

TH7

Trả lời câu hỏi Thực hành 7 trang 42 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

a) Tính chiều cao của hình chóp $O . M N P$ với toạ độ các đỉnh $O (0; 0; 0)$ , $M (2; 1; 2)$ , $N (3; 3; 3)$ , $P (4; 5; 6)$ .

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(R) : 8 x + 6 y + 70 = 0$ và $(S) : 16 x + 12 y - 2 = 0$ .

Phương pháp giải:

a) Chiều cao của hình chóp $O . M N P$ chính là khoảng cách từ điểm $O$ tới mặt phẳng $(M N P)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(M N P)$ , từ đó tính khoảng cách từ điểm $O$ tới mặt phẳng $(M N P)$ .

b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm nằm trên mặt phẳng này tới mặt phẳng kia. Chọn một điểm nằm trên mặt phẳng $(R)$ và tính khoảng cách từ điểm đó tới mặt phẳng $(S)$ .

Lời giải chi tiết:

a) Chiều cao của hình chóp $O . M N P$ chính là khoảng cách từ điểm $O$ tới mặt phẳng $(M N P)$ .

Mặt phẳng $(M N P)$ đi qua ba điểm $M (2; 1; 2)$ , $N (3; 3; 3)$ , $P (4; 5; 6)$ nên có một cặp vectơ chỉ phương là $\vec{M N} = (1; 2; 1)$ và $\vec{M P} = (2; 4; 4)$ .

Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(M N P)$ là:

$\vec{n} = [\vec{M N}, \vec{M P}] = (2.4 - 1.4; 1.2 - 1.4; 1.4 - 2.2) = (4; - 2; 0)$

Mặt phẳng $(M N P)$ đi qua $M (2; 1; 2)$ và có một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (4; - 2; 0)$ nên có phương trình là $4 (x - 2) - 2 (y - 1) + 0 (z - 2) = 0 \Leftrightarrow 4 x - 2 y - 6 = 0$ .

Khoảng cách từ điểm $O$ tới mặt phẳng $(M N P)$ là:

$d (O, (M N P)) = \frac{| 4.0 - 2.0 - 6 |}{\sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{6}{2 \sqrt{5}} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ .

b) Chọn điểm $M (0; - \frac{35}{3}; 0)$ nằm trên mặt phẳng $(R)$ .

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(R)$ và $(S)$ , chính là khoảng cách từ $M (0; - \frac{35}{3}; 0)$ đến $(S)$ , bằng:

$d ((R), (S)) = d (M, (S)) = \frac{| 16.0 + 12. \frac{- 35}{3} - 2 |}{\sqrt{16^{2} + 12^{2}}} = \frac{71}{10}$ .

VD6

Trả lời câu hỏi Vận dụng 6 trang 42 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có cạnh đáy bằng $a \sqrt{2}$ , chiều cao bằng $2 a$ và $O$ là tâm của đáy. Bằng cách thiết lập hệ trục toạ độ $O x y z$ như hình dưới đây, tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(S A B)$ .

Phương pháp giải:

Xác định toạ độ các điểm $C$ , $S$ , $A$ , $B$ , sau đó viết phương trình mặt phẳng $(S A B)$ rồi sử dụng công thức tính khoảng cách để tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(S A B)$ .

Lời giải chi tiết:

Hình vuông $A B C D$ có cạnh $a \sqrt{2}$ , nên đường chéo có độ dài $\sqrt{{(a \sqrt{2})}^{2} + {(a \sqrt{2})}^{2}} = 2 a$ . Suy ra $O A = O B = O C = \frac{2 a}{2} = a$ .

Chiều cao của hình chóp đều là $2 a$ , nên $S O = 2 a$

Điểm $A$ nằm trên trục $O x$ , $O A = a$ và $x_{A} < 0$ nên ta có $A (- a; 0; 0)$ .

Điểm $B$ nằm trên trục $O y$ , $O B = a$ và $y_{B} > 0$ nên ta có $B (0; a; 0)$ .

Điểm $C$ nằm trên trục $O x$ , $O C = a$ và $x_{C} > 0$ nên ta có $C (a; 0; 0)$ .

Điểm $S$ nằm trên trục $O z$ , $O S = 2 a$ và $z_{S} > 0$ nên ta có $S (0; 0; 2 a)$ .

Mặt phẳng $(S A B)$ đi qua $A (- a; 0; 0)$ , $B (0; a; 0)$ , $S (0; 0; 2 a)$ nên có phương trình là:

$\frac{x}{- a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{2 a} = 1 \Leftrightarrow - 2 x + 2 y + z = 2 a$

$\Leftrightarrow - 2 x + 2 y + z - 2 a = 0$ .

Khoảng cách từ $C (a; 0; 0)$ đến mặt phẳng $(S A B)$ là:

$d (C, (S A B)) = \frac{| - 2. a + 2.0 + 0 - 2 a |}{\sqrt{{(- 2)}^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{4 a}{3}$ .