Giải mục 5 trang 45, 46

HĐ 7

Cho elip (E) $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(0 < b < a)$

Xét đường thẳng $Δ_{1} : x = - \frac{a}{e}$ với mỗi điểm $M (x; y) \in (E)$ (Hình 9), tính:

a) Khoảng cách $d (M, Δ_{1})$ từ điểm $M (x; y)$ đến đường thẳng $Δ_{1}$

b) Tỉ số $\frac{M F_{1}}{d (M, Δ_{1})}$

Lời giải chi tiết:

a) Viết lại phương trình đưởng thẳng $Δ_{1}$ ở dạng: $x + 0 y + \frac{a}{e} = 0$

Với mỗi điểm $M (x; y) \in (E)$ , ta có: $d (M, Δ_{1}) = \frac{| x + 0 y + \frac{a}{e} |}{\sqrt{1^{2} + 0^{2}}} = \frac{| a + e x |}{e}$

b) Do $M F_{1} = a + e x > 0$ nên $M F_{1} = | a + e x | \Rightarrow d (M, Δ_{1}) = \frac{M F_{1}}{e}$

Vậy $\frac{M F_{1}}{d (M, Δ_{1})} = e$

Luyện tập - vận dụng 4

Viết phương trình chính tắc của elip, biết tiêu điểm $F_{2} (5; 0)$ và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là $x = \frac{36}{5} .$

Phương pháp giải:

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(0 < b < a)$

+ Tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$

+ Ứng với tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{1} : x + \frac{a}{e} = 0$

+ Ứng với tiêu điểm $F_{2} (5; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{2} : x - \frac{a}{e} = 0$

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(0 < b < a)$

(E) có tiêu điểm $F_{2} (c; 0) = (5; 0) \Rightarrow c = 5$

Ứng với tiêu điểm $F_{2} (3; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{2} : x = \frac{a}{e} = \frac{36}{5}$

Mà $e = \frac{c}{a} = \frac{5}{a} \Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{a^{2}}{5} = \frac{36}{5} \Leftrightarrow a^{2} = 36$ hay $a = 6$ . Suy ra $b = \sqrt{a^{2} - c^{2}} = \sqrt{6^{2} - 5^{2}} = \sqrt{11}$

Vậy phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{11} = 1$