Giải mục 5 trang 45, 46

Hoạt động 5

Cho $f\left(x\right)$ và $g\left(x\right)$ là hai hàm số có đạo hàm tại $x_0$. Xét hàm số $h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$.

Ta có $\frac{h\left(x\right)-h\left(x_0\right)}{x-x_0}=\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}+\frac{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}{x-x_0}$

nên $h^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{h\left(x\right)-h\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}+\underset{x\to x_0}{lim}\frac{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}{x-x_0}=...+...$

Chọn biểu thức thích hợp thay cho chỗ chấm để tìm $h^{\prime }\left(x_0\right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa đạo hàm: $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=f^{\prime }\left(x_0\right);\underset{x\to x_0}{lim}\frac{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}{x-x_0}=g^{\prime }\left(x_0\right)$

Vậy $h^{\prime }\left(x_0\right)=f^{\prime }\left(x_0\right)+g^{\prime }\left(x_0\right)$.

Thực hành 6

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=x{\log }_{2}x$;                                    

b) $y=x^3{e}^x$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${\left(u.v\right)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$.

Lời giải chi tiết:

a) $y^{\prime }={\left(x{\log }_{2}x\right)}^{\prime }={\left(x\right)}^{\prime }{\log }_{2}x+x{\left({\log }_{2}x\right)}^{\prime }={\log }_{2}x+x.\frac{1}{x\ln 2}={\log }_{2}x+\frac{1}{\ln 2}$.

b) $y^{\prime }={\left(x^3{e}^x\right)}^{\prime }={\left(x^3\right)}^{\prime }{e}^x+x^3{\left(e^x\right)}^{\prime }=3x^2{e}^x+x^3{e}^x$