Giải mục 5 trang 53, 54

HĐ 7

Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ trong đó $a > 0, b > 0$ .

Xét đường thẳng $Δ_{1} : x = - \frac{a}{e}$ với mỗi điểm $M (x_{0}; y_{0}) \in (H)$ (Hình 17), tính:

a) Khoảng cách $d (M, Δ_{1})$ từ điểm $M (x_{0}; y_{0})$ đến đường thẳng $Δ_{1}$

b) Tỉ số $\frac{M F_{1}}{d (M, Δ_{1})}$

Lời giải chi tiết:

a) Viết lại phương trình đưởng thẳng $Δ_{1}$ ở dạng: $x + 0 y + \frac{a}{e} = 0$

Với mỗi điểm $M (x_{0}; y_{0}) \in (H)$ , ta có: $d (M, Δ_{1}) = \frac{| x + 0 y + \frac{a}{e} |}{\sqrt{1^{2} + 0^{2}}} = | x + \frac{a}{e} | = \frac{| a + e x |}{e}$

b) Ta có: $M F_{1} = | a + e x | \Rightarrow \frac{M F_{1}}{d (M, Δ_{1})} = \frac{| a + e x |}{\frac{| a + e x |}{e}} = e$

Vậy $\frac{M F_{1}}{d (M, Δ_{1})} = e$

Luyện tập - vận dụng 4

Viết phương trình chình tắc của đườn hypebol biết một tiêu điểm là $F_{2} (\sqrt{2}; 0)$ và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là: $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ trong đó $a > 0, b > 0$ . Khi đó ta có:

+ Tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$

+ Ứng với tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{1} : x + \frac{a}{e} = 0$

+ Ứng với tiêu điểm $F_{2} (c; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{2} : x - \frac{a}{e} = 0$

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0, b > 0$ ).

+ Tiêu điểm $F_{2} (c; 0) = (\sqrt{2}; 0) \Rightarrow c = \sqrt{2}$

+ Ứng với tiêu điểm $F_{2} (c; 0)$ , có đường chuẩn $Δ_{2} : x = \frac{a}{e}$ hay $\frac{a}{e} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Mà $e = \frac{c}{a} \Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{a^{2}}{c} = \frac{a^{2}}{\sqrt{2}} \Rightarrow a^{2} = 1 \Rightarrow a = 1.$ Suy ra $b = \sqrt{c^{2} - a^{2}} = 1$

Vậy PTCT của hypebol là $x^{2} - y^{2} = 1$