Giải mục 5 trang 77, 78

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 77 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}$ có đồ thị như Hình 4.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị $f\left(x\right)$ khi $x$ dần tới 1 phía bên phải?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị $f\left(x\right)$ khi $x$ dần tới 1 phía bên trái?

Phương pháp giải:

Để điền giá trị vào bảng, ta thay giá trị của $x$ vào hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}$.

Lời giải chi tiết:

a)

Giá trị $f\left(x\right)$ trở nên rất lớn khi $x$ dần tới 1 phía bên phải.

b)

Giá trị $f\left(x\right)$ trở nên rất bé khi $x$ dần tới 1 phía bên trái.

TH5

Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 78 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 3^{-}}{lim}\frac{2x}{x-3}$;   

b) $\underset{x\to +\infty }{lim}\left(3x-1\right)$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa hàm số $f\left(x\right)$ về tích của hai hàm số, trong đó một hàm số có giới hạn hữu hạn, còn một hàm số có giới hạn vô cực.

Bước 2: Áp dụng quy tắc xét dấu để tính giới hạn của tích.

Lời giải chi tiết:

a) $\underset{x\to 3^{-}}{lim}\frac{2x}{x-3}=\underset{x\to 3^{-}}{lim}\left(2x\right).\underset{x\to 3^{-}}{lim}\frac{1}{x-3}$.

Ta có: $\underset{x\to 3^{-}}{lim}\left(2x\right)=2\underset{x\to 3^{-}}{lim}x=2.3=6;\underset{x\to 3^{-}}{lim}\frac{1}{x-3}=-\infty$.

$\Rightarrow \underset{x\to 3^{-}}{lim}\frac{2x}{x-3}=-\infty$.

b) $\underset{x\to +\infty }{lim}\left(3x-1\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}x\left(3-\frac{1}{x}\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}x.\underset{x\to +\infty }{lim}\left(3-\frac{1}{x}\right)$.

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{lim}x=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{lim}\left(3-\frac{1}{x}\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}3-\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1}{x}=3-0=3$.

$\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{lim}\left(3x-1\right)=+\infty$.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 78 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Xét tình huống ở đầu bài học. Gọi $x$ là hoành độ điểm $H$. Tính diện tích $S\left(x\right)$ của hình chữ nhật $OHMK$ theo $x$. Diện tích này thay đổi như thế nào khi $x\to 0^{+}$ và khi $x\to +\infty$.

Phương pháp giải:

− Để tính diện tích $S\left(x\right)$, ta tìm độ dài $OH$ và $OK$ rồi áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật.

− Để xác định xem diện tích $S\left(x\right)$ thay đổi như thế nào khi $x\to 0^{+}$ và khi $x\to +\infty$, ta tính giới hạn $\underset{x\to 0^{+}}{lim}S\left(x\right)$ và $\underset{x\to +\infty }{lim}S\left(x\right)$.

Lời giải chi tiết:

Giả sử điểm $M$ có hoành độ là $x$.

Độ dài $OH$ là hoành độ của điểm $M$. Vậy $OH=x$.

Độ dài $OK$ là tung độ của điểm $M$. Vậy $OK=\frac{1}{x^2}$.

$S\left(x\right)=OH.OK=x.\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x}$.

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}S\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x}=+\infty$. Vậy diện tích $S\left(x\right)$ trở nên rất lớn khi $x\to 0^{+}$.

$\underset{x\to +\infty }{lim}S\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1}{x}=0$. Vậy diện tích $S\left(x\right)$ dần về 0 khi $x\to +\infty$.