Giải mục 5 trang 92, 93, 94

HĐ 8

a) Sử dụng phép đổi biến $t=\frac{1}{x},$ tìm giới hạn $\underset{x\to 0}{lim}{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}.$

b) Với $y={\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}},$ tính ln y và tìm giới hạn của $\underset{x\to 0}{lim}\ln y.$

c) Đặt $t=e^x-1.$ Tính x theo t và tìm giới hạn $\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $e=\underset{x\to +\infty }{lim}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $t=\frac{1}{x},$ nên khi x tiến đến 0 thì t tiến đến dương vô cùng do đó

$\underset{x\to 0}{lim}{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=\underset{t\to +\infty }{lim}{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t=e$

b) $\ln y=\ln {\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x}\ln \left(1+x\right)$

$\underset{x\to 0}{lim}\ln y=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1$

c) $t=e^x-1\iff e^x=t+1\iff x=\ln \left(t+1\right)$

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=\underset{t\to 0}{lim}\frac{t}{\ln \left(t+1\right)}=1$

HĐ 9

a) Sử dụng giới hạn $\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^h-1}{h}=1$ và đẳng thức $e^{x+h}-e^x=e^x\left(e^h-1\right),$ tính đạo hàm của hàm số $y=e^x$ tại x bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức $a^x=e^{x\ln a}\left(0<a\ne 1\right),$ hãy tính đạo hàm của hàm số $y=a^x.$

Phương pháp giải:

- $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

- $\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^h-1}{h}=1$

Lời giải chi tiết:

a) Với x bất kì và $h=x-x_0$, ta có:

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{x_0+h}-e^{x_0}}{h}\\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{x_o}\left(e^h-1\right)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}{e}^{x_0}.\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^h-1}{h}=e^{x_0}\end{array}$

Vậy hàm số $y=e^x$  có đạo hàm là hàm số $y^{\prime }=e^x$

b) Ta có $a^x=e^{x\ln a}$nên ${\left(a^x\right)}^{\prime }={\left(e^{x\ln a}\right)}^{\prime }={\left(x\ln a\right)}^{\prime }.e^{x\ln a}=e^{x\ln a}\ln a=a^x\ln a$

LT 6

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=e^{x^2-x};$                                   

b) $y=3^{\sin x}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${\left(e^u\right)}^{\prime }=e^u.u^{\prime };{\left(a^u\right)}^{\prime }=a^u.u^{\prime }.\ln a$

Lời giải chi tiết:

a) $y^{\prime }=e^{x^2-x}.{\left(x^2-x\right)}^{\prime }=\left(2x-1\right)e^{x^2-x}$                               

b) $y^{\prime }=3^{\sin x}.{\left(\sin x\right)}^{\prime }.\ln 3=3^{\sin x}.\cos x.\ln 3$

HĐ 10

a) Sử dụng giới hạn $\underset{t\to 0}{lim}\frac{\ln \left(1+t\right)}{t}=1$ và đẳng thức $\ln \left(x+h\right)-\ln x=\ln \left(\frac{x+h}{x}\right)=\ln \left(1+\frac{h}{x}\right),$ tính đạo hàm của hàm số $y=\ln x$ tại điểm x > 0 bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức ${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}\left(0<a\ne 1\right),$ hãy tính đạo hàm của hàm số $y={\log }_{a}x.$

Phương pháp giải:

- $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

- $\underset{t\to 0}{lim}\frac{\ln \left(1+t\right)}{t}=1$

Lời giải chi tiết:

a) Với x > 0 bất kì và $h=x-x_0$ ta có

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\ln \left(x_0+h\right)-\ln x_0}{h}\\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x_0}\right)}{\frac{h}{x_0}.x_0}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{x_0}.\underset{h\to 0}{lim}\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x_0}\right)}{\frac{h}{x_0}}=\frac{1}{x_0}\end{array}$

Vậy hàm số $y=\ln x$ có đạo hàm là hàm số $y^{\prime }=\frac{1}{x}$

b) Ta có ${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$ nên ${\left({\log }_{a}x\right)}^{\prime }={\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$

LT 7

Tính đạo hàm của hàm số $y={\log }_2\left(2x-1\right).$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${\left({\log }_{a}u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u\ln a}$

Lời giải chi tiết:

Vì $2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$ nên hàm số xác định trên $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$

Ta có $y^{\prime }=\frac{{\left(2x-1\right)}^{\prime }}{\left(2x-1\right)\ln 2}=\frac{2}{\left(2x-1\right)\ln 2}$

VD 2

Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi $pH=-\log \left[H^{+}\right],$ ở đó $\left[H^{+}\right]$ là nồng độ (mol/l) của hydrogen. Tính tốc độ thay đổi của pH với nồng độ $\left[H^{+}\right]$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${\left({\log }_{a}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$

Lời giải chi tiết:

Ta có $pH=-\log \left[H^{+}\right]$ nên ${\left(pH\right)}^{\prime }={\left(-\log \left[H^{+}\right]\right)}^{\prime }=\frac{-1}{\left[H^{+}\right]\ln 10}$

Vậy tốc độ thay đổi của pH với nồng độ $\left[H^{+}\right]$ là $\frac{-1}{\left[H^{+}\right]\ln 10}$