Giải mục 6 trang 38, 39 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ10

Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 38 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và mặt phẳng $(P) : A x + B y + C z + D = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ . Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) (H.5.13).

a) Giải thích vì sao tồn tại số k để $\vec{M N} = k \vec{n}$ . Tính tọa độ của N theo k, tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.

b) Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.

c) Từ $| \vec{M N} | = | k | | \vec{n} |$ , hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để chứng minh: Vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ nếu giá của $\vec{n}$ vuông góc với $(α)$ .

Lời giải chi tiết:

a) Vì N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) nên $M N ⊥ (P)$ . Mà $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên hai vectơ $\vec{M N}$ và $\vec{n}$ cùng phương. Do đó, tồn tại số k để $\vec{M N} = k \vec{n}$ . Suy ra: ${\begin{cases} x_{N} - x_{M} = k A \\ y_{N} - y_{M} = k B \\ z_{N} - z_{M} = k C \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{N} = k A + x_{0} \\ y_{N} = k B + y_{0} \\ z_{N} = k C + z_{0} \end{cases}$ nên $N (k A + x_{0}; k B + y_{0}; k C + z_{0})$ .

b) Thay $x = k A + x_{0}; y = k B + y_{0}; z = k C + z_{0}$ vào phương trình $A x + B y + C z + D = 0$ ta có:

$A (k A + x_{0}) + B (k B + y_{0}) + C (k C + z_{0}) + D = 0$

$\Leftrightarrow k A^{2} + A x_{0} + k B^{2} + B y_{0} + k C^{2} + C z_{0} + D = 0$

$\Leftrightarrow k (A^{2} + B^{2} + C^{2}) + A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D = 0$

$\Leftrightarrow k = \frac{- (A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D)}{A^{2} + B^{2} + C^{2}}$ .

c) Ta có: $| \vec{n} | = \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}$ nên:

$| \vec{M N} | = | k | | \vec{n} | = | k | \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}$

$= \sqrt{\frac{{(A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D)}^{2} (A^{2} + B^{2} + C^{2})}{{(A^{2} + B^{2} + C^{2})}^{2}}}$

$= \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

Do đó, công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

$d (M, (P)) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

LT11

Trả lời câu hỏi Luyện tập 11 trang 39 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : x + 3 y + z + 2 = 0$ và $(Q) : x + 3 y + z + 5 = 0$ .

a) Chứng minh rằng (P) và (Q) song song với nhau.

b) Lấy một điểm thuộc (P), tính khoảng cách từ điểm đó đến (Q). Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(α) : A x + B y + C z + D = 0$ , $(β) : A^{'} x + B^{'} y + C^{'} z + D^{'} = 0$ với các vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C), \vec{n^{'}} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})$ tương ứng. Khi đó, $(α) / / (β) \Leftrightarrow {\begin{cases} \vec{n^{'}} = k \vec{n} \\ D^{'} \neq k D \end{cases}$ với k nào đó.

Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ đến mặt phẳng $(P) : A x + B y + C z + D = 0$ là $d (M, (P)) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: $\vec{n_{P}} = (1; 3; 1)$ , mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: $\vec{n_{Q}} = (1; 3; 1)$ . Vì $\vec{n_{P}} = \vec{n_{Q}}$ và $2 \neq 5$ nên (P) và (Q) song song với nhau.

b) Lấy điểm A(0; 0; -2) thuộc mặt phẳng (P). Ta có:

$d (A, (Q)) = \frac{| 0 + 3.0 - 2 + 5 |}{\sqrt{1^{2} + 3^{2} + 1^{2}}} = \frac{3 \sqrt{11}}{11}$ .

Vì (P) và (Q) song song với nhau nên:

$d ((P), (Q)) = d (A, (Q)) = \frac{3 \sqrt{11}}{11}$ .

VD5

Trả lời câu hỏi Vận dụng 5 trang 39 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Góc quan sát ngang của một camera là $115^{0}$ . Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 2 z + 3 = 0$ . Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ đến mặt phẳng $(P) : A x + B y + C z + D = 0$ là $d (M, (P)) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P) là:

$d (C, (P)) = \frac{| 1.1 + 2.2 + 2.4 + 3 |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = \frac{16}{3}$ .

Vùng quan sát trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính là:

$R = d (C, (P)) . \tan \frac{115^{0}}{2} \approx 8, 4$ .