Giải mục 6 trang 46, 47

Cho hàm số (u = sin x) và hàm số (y = {u^2}).

Hoạt động 6

Cho hàm số $u = \sin x$ và hàm số $y = u^{2}$ .

a) Tính $y$ theo $x$ .

b) Tính $y_{x}^{'}$ (đạo hàm của $y$ theo biến $x$ ), $y_{u}^{'}$ (đạo hàm của $y$ theo biến $u$ ) và $u_{x}^{'}$ (đạo hàm của $u$ theo biến $x$ ) rồi so sánh $y_{x}^{'}$ với $y_{u}^{'} . u_{x}^{'}$ .

Phương pháp giải:

a) Thay $u = \sin x$ vào $y$ .

b) Sử dụng công thức tính đạo hàm: ${(x^{n})}^{'} = n x^{n - 1}; {(\sin x)}^{'} = \cos x$ .

Lời giải chi tiết:

a) $y = u^{2} = {(\sin x)}^{2} = \sin^{2} x$ .

b) Ta có:

$\begin{array}{l} y_{x}^{'} = {(\sin x . \sin x)}^{'} = {(\sin x)}^{'} . \sin x + \sin x . {(\sin x)}^{'} = \cos x . \sin x + \sin x . \cos x = 2 \sin x \cos x \\ y_{u}^{'} = {(u^{2})}^{'} = 2 u \\ u_{x}^{'} = {(\sin x)}^{'} = \cos x \\ \Rightarrow y_{u}^{'} . u_{x}^{'} = 2 u . \cos x = 2 \sin x \cos x \end{array}$

Vậy $y_{x}^{'} = y_{u}^{'} . u_{x}^{'}$ .

Thực hành 7

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = {(2 x^{3} + 3)}^{2}$ ;

b) $y = \cos 3 x$ ;

c) $y = \log_{2} (x^{2} + 2)$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp: $y_{x}^{'} = y_{u}^{'} . u_{x}^{'}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Đặt $u = 2 x^{3} + 3$ thì $y = u^{2}$ . Ta có: $u_{x}^{'} = {(2 x^{3} + 3)}^{'} = 6 x^{2}$ và $y_{u}^{'} = {(u^{2})}^{'} = 2 u$ .

Suy ra $y_{x}^{'} = y_{u}^{'} . u_{x}^{'} = 2 u .6 x^{2} = 2 (2 x^{3} + 3) .6 x^{2} = 12 x^{2} (2 x^{3} + 3) .$

Vậy $y^{'} = 12 x^{2} (2 x^{3} + 3)$ .

b) Đặt $u = 3 x$ thì $y = \cos u$ . Ta có: $u_{x}^{'} = {(3 x)}^{'} = 3$ và $y_{u}^{'} = {(\cos u)}^{'} = - \sin u$ .

Suy ra $y_{x}^{'} = y_{u}^{'} . u_{x}^{'} = - \sin u .3 = - 3 \sin 3 x$ .

Vậy $y^{'} = - 3 \sin 3 x$ .

c) Đặt $u = x^{2} + 2$ thì $y = \log_{2} u$ . Ta có: $u_{x}^{'} = {(x^{2} + 2)}^{'} = 2 x$ và $y_{u}^{'} = {(\log_{2} u)}^{'} = \frac{1}{u \ln 2}$ .

Suy ra $y_{x}^{'} = y_{u}^{'} . u_{x}^{'} = \frac{1}{u \ln 2} .2 x = \frac{1}{(x^{2} + 2) \ln 2} .2 x = \frac{2 x}{(x^{2} + 2) \ln 2} .$

Vậy $y^{'} = \frac{2 x}{(x^{2} + 2) \ln 2} .$