Giải mục 6 trang 46

HĐ 8

Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(0 < b < a)$

Xét đường tròn (C) tâm O bán kính a có phương trình $x^{2} + y^{2} = a^{2}$

Cét điểm $M (x; y) \in (E)$ và $M_{1} (x; y_{1}) \in (C)$ sao cho $y$ và $y_{1}$ luôn cùng dấu (Khi M khác với hai đỉnh $A_{1}, A_{2}$ của (E)) (Hình 10)

a) Từ phương trình chính tắc của elip (E), hãy tính $y^{2}$ theo $x^{2}$

Từ phương trình của đường tròn (C), hãy tính ${y_{1}}^{2}$ theo $x^{2}$

b) Tính tỉ số $\frac{H M}{H M_{1}} = \frac{y}{y_{1}}$ theo $a, b$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow y^{2} = b^{2} (1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}) = \frac{(a^{2} - x^{2}) b^{2}}{a^{2}}$

Tương tự, $M_{1} (x; y_{1}) \in (C)$ nên $x^{2} + {y_{1}}^{2} = a^{2} \Rightarrow {y_{1}}^{2} = a^{2} - x^{2}$

b) Ta có: $\frac{y^{2}}{{y_{1}}^{2}} = \frac{\frac{(a^{2} - x^{2}) b^{2}}{a^{2}}}{a^{2} - x^{2}} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ .

Vậy $\frac{H M}{H M_{1}} = \frac{y}{y_{1}} = \frac{b}{a}$ , tức là $y_{1} = \frac{a}{b} y$