Giải mục I trang 44, 45

Hoạt động 1

a) Quan sát Hình 17 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=x^2-2x+2$ trên $R$.

b) Quan sát Hình 18 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-x^2+4x-5$ trên $R$.

c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$ trên $R$ với dấu của hệ số a trong trường hợp $\Delta <0$.

Phương pháp giải:

a) $a{x}^2+bx+c>0$ ứng với phần parabol  $y=a{x}^2+bx+c$ nằm phía trên trục hoành.

b) $a{x}^2+bx+c<0$ ứng với phần parabol  $y=a{x}^2+bx+c$ nằm phía dưới trục hoành.

c) Rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Ta thấy đồ thị nằm trên trục hoành nên $f\left(x\right)=x^2-2x+2>0$ trên $R$.

b) Ta thấy đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f\left(x\right)=-x^2+4x-5<0$ trên $R$.

c) Ta thấy $f\left(x\right)=x^2-2x+2$ có hệ số a = 1 > 0 và $f\left(x\right)=x^2-2x+2>0$.

$f\left(x\right)=-x^2+4x-5$ có hệ số a = -1.

Như thế, khi $\Delta <0$ thì tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$ cùng dấu với hệ số a.

Hoạt động 2

a) Quan sát Hình 19 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=x^2+2x+1$.

b) Quan sát Hình 20 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-x^2+4x-4$.

c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$ với dấu của hệ số a trong trường hợp $\Delta =0$.

Phương pháp giải:

a) Xét giao điểm của đồ thị và trục hoành. Xét dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=x^2+2x+1$.

b) Xét giao điểm của đồ thị và trục hoành. Xét dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-x^2+4x-4$.

c) Rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Từ đồ thị ta thấy $x^2+2x+1\ge 0\forall x$

Và $x^2+2x+1>0\forall x\in R\setminus \left\{-1\right\}$

b) Từ đồ thị ta thấy $-x^2+4x-4\le 0\forall x$

Và $-x^2+4x-4<0\forall x\in R\setminus \left\{2\right\}$

c) Nếu $\Delta =0$ thì $f\left(x\right)$ cùng dấu với dấu của hệ số a, với mọi $x\in R\setminus \left\{\frac{-b}{2a}\right\}$

Hoạt động 3

a) Quan sát Hình 21 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=x^2+3x+2$ tùy theo các khoảng của x.

b) Quan sát Hình 22 và cho biết dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-x^2+4x-3$ tùy theo các khoảng của x.

c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$ với dấu của hệ số tùy theo các khoảng của x trong trường hợp $\Delta >0$.

Phương pháp giải:

a) Xét các khoảng $\left(-\infty ;-2\right);\left(-2;-1\right);\left(-1;+\infty \right)$

b) Xét các khoảng $\left(-\infty ;1\right);\left(1;3\right);\left(3;+\infty \right)$

c) Rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Ta thấy trên $\left(-\infty ;-2\right)$: Đồ thị nằm trên trục hoành

=> $f\left(x\right)=x^2+3x+2>0$$\forall x\in \left(-\infty ;-2\right)$

Trên $\left(-2;-1\right)$: Đồ thị nằm dưới trục hoành

=> $f\left(x\right)=x^2+3x+2<0$$\forall x\in \left(-2;-1\right)$

Trên $\left(-1;+\infty \right)$: Đồ thị nằm trên trục hoành

=> $f\left(x\right)=x^2+3x+2>0$$\forall x\in \left(-1;+\infty \right)$

b)

Trên $\left(-\infty ;1\right)$: Đồ thị nằm dưới trục hoành

=> $f\left(x\right)=-x^2+4x-3<0$$\forall x\in \left(-\infty ;1\right)$

Trên $\left(1;3\right)$: Đồ thị nằm trên trục hoành

=> $f\left(x\right)=-x^2+4x-3>0$$\forall x\in \left(1;3\right)$

Trên $\left(3;+\infty \right)$: Đồ thị nằm dưới trục hoành

=> $f\left(x\right)=-x^2+4x-3<0$$\forall x\in \left(3;+\infty \right)$

c) Nếu $\Delta >0$ thì $f\left(x\right)$ cùng dấu vưới hệ số a với mọi x thuộc các khoảng $\left(-\infty ;x_1\right)$ và $\left(x_2;+\infty \right)$; $f\left(x\right)$ trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng $\left(x_1;x_2\right)$, trong đó $x_1,x_2$ là hai nghiệm của $f\left(x\right)$ và $x_1<x_2$.