Giải mục I trang 63, 64, 65, 66

Hoạt động 1

Cho tam giác ABC vuông tại $A$ có $\widehat{ABC}=\alpha$ (Hình 2).

a) Nhắc lại định nghĩa $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, $\cot \alpha$.

b) Biểu diễn tỉ số lượng giác của góc ${90}^o-\alpha$ theo tỉ số lượng giác của góc $\alpha$.

Lời giải chi tiết:

$\sin \alpha =\frac{AC}{BC}$, $\cos \alpha =\frac{AB}{BC}$, $\tan \alpha =\frac{AC}{AB}$, $\cot \alpha =\frac{AB}{AC}$.

$\sin ({90}^o-\alpha )=\cos \alpha$, $\cos ({90}^o-\alpha )=\sin \alpha$,

$\tan ({90}^o-\alpha )=\cot \alpha$, $\cot ({90}^o-\alpha )=\tan \alpha$.

Hoạt động 2

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hoành bán kính $R=1$ được gọi là nửa đường tròn đơn vị (Hình 3). Với mỗi góc nhọn $\alpha$ ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$. Giả sử điểm M có toạ độ $(x_0;y_0)$. Hãy tính sin $\alpha$, cos $\alpha$, tan $\alpha$, cot $\alpha$ theo $x_0$, $y_0$.

Lời giải chi tiết:

Để tính sin $\alpha$, cos $\alpha$, tan $\alpha$, cot $\alpha$ theo $x_0$, $y_0$, ta làm như sau: 

Xét tam giác vuông $OMH$, ta có: 

$\sin \alpha =\frac{MH}{OM}=\frac{y_0}{1}=y_0$, $\cos \alpha =\frac{OH}{OM}=\frac{x_0}{1}=x_0,$ 

$\tan \alpha =\frac{MH}{OH}=\frac{y_0}{x_0}$, $\cot \alpha =\frac{OH}{MH}=\frac{x_0}{y_0}$.

Hoạt động 3

Trên nửa đường tròn đơn vị ta có dây cung MN song song với trục Ox và $\widehat{xOM}=\alpha$ (Hình 6).

a) Chứng minh $\widehat{xON}={180}^o-\alpha$.

b) Biểu diễn giá trị lượng giác của góc ${180}^o-\alpha$ theo giá trị lượng giác của góc $\alpha$.

Phương pháp giải:

a) Quan sát hình 6, dựa vào các góc đồng vị và tam giác cân để suy ra $\widehat{xON}={180}^o-\alpha$.

b) Trên hình vẽ, xác định các GTLG của $\widehat{xON}$,so sánh với GTLG của góc $\alpha$.

Lời giải chi tiết:

a) Do MN song song với Ox nên $\alpha =\widehat{OMN}=\widehat{ONM}=\widehat{NO{x}^{\prime }}$.

Mà $\widehat{xON}={180}^o-\widehat{NO{x}^{\prime }}={180}^o-\alpha$.

$\Rightarrow \widehat{xON}={180}^o-\alpha$.

b) Dễ thấy: Điểm N đối xứng với M qua trục Oy.

$\Rightarrow N(-x_0;y_0)$.

Lại có: Điểm N biểu diễn góc ${180}^o-\alpha$.

 $\Rightarrow \{\begin{array}{c}\sin ({180}^o-\alpha )=y_N=y_0\\ \cos ({180}^o-\alpha )=x_N=-x_0\end{array}$

Mà: $\sin \alpha =y_0;\cos \alpha =x_0$.

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}\sin ({180}^o-\alpha )=\sin \alpha \\ \cos ({180}^o-\alpha )=-\cos \alpha \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}\tan ({180}^o-\alpha )=-\tan \alpha \\ \cot ({180}^o-\alpha )=-\cot \alpha \end{array}$

Hoạt động 4

Ta có thể tìm giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc (từ $0^o$ đến ${180}^o$) bằng cách sử dụng các phím: sin, cos, tan trên máy tính cầm tay.

Tính $\sin {75}^o$, $\cos {175}^o$, $\tan {64}^o$ (làm tròn đến hàng phần chục nghìn).

Lời giải chi tiết:

Để tính các giá trị lượng giác trên, sau khi đưa máy tính về chế độ "độ", ta làm như sau:

Hoạt động 5

Ta có thể tìm số đo (đúng hoặc gần đúng) của một góc từ $0^o$ đến ${180}^o$ khi biết giá trị lượng giác của góc đó bằng cách sử dụng các phím: SHIFT cùng với sin; cos; tan trên máy tính cầm tay.

Tìm số đo góc $\alpha$ (từ $0^o$ đến ${180}^o$) và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ, biết:

a) $\cos \alpha =-0,97$;

b) $\tan \alpha =0,68$;

c) $\sin \alpha =0,45$.

Lời giải chi tiết:

Để tính gần đúng số đo góc $\alpha$ trong mỗi trường hợp trên, sau khi đưa máy tính về chế độ "độ", ta làm như sau:

Luyện tập – vận dụng 1

Hãy tính chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi trong bài toán ở phần mở đầu.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính $\widehat{ACH},\widehat{BCH}$.

Bước 2: Tính $\tan \widehat{ACH},\tan \widehat{BCH}$ theo h.

Bước 3: Giải phương trình ẩn h và kết luận.

Lời giải chi tiết:

$\{\begin{array}{c}\widehat{ACH}={45}^o\\ \widehat{BCH}={50}^o\end{array}$ (hai góc đồng vị).

Mà $\tan \widehat{ACH}=\frac{AH}{CH}\Rightarrow \tan {45}^o=\frac{h}{CH}\iff CH=h$.

Lại có: $\tan \widehat{BCH}=\frac{BH}{CH}\Rightarrow \tan {50}^o=\frac{h+20,25}{h}$

$\iff h.\tan {50}^o=h+20,25$

$\iff h=\frac{20,25}{\tan {50}^o-1}\approx 105,6$.

Vậy chiều cao của đỉnh Lũng cú so với chân núi là khoảng 105,6m.