Giải mục I trang 72, 73 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều

Hoạt động 1

Cho tam giác ABC có $A B = c, A C = b, \hat{A} = α$ . Viết công thức tính BC theo $b, c, α$

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2. A B . A C . \cos A$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2. A B . A C . \cos A$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow B C^{2} = c^{2} + b^{2} - 2. c . b . \cos α \\ \Leftrightarrow B C = \sqrt{c^{2} + b^{2} - 2 b c . \cos α} \end{array}$

Hoạt động 2

Cho tam giác ABC có $A B = c, A C = b, B C = a$ . Viết công thức tính cos A.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, từ đó suy ra công thức tính cos A.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2. A B . A C . \cos A$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a^{2} = c^{2} + b^{2} - 2. c . b . \cos A \\ \Leftrightarrow 2 b c \cos A = b^{2} + c^{2} - a^{2} \\ \Leftrightarrow \cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} \end{array}$

Chú ý

Tương tự, ta suy ra công thức tính $\cos B, \cos C$ như sau:

$\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}; \cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$

Hoạt động 3

Cho tam giác $A B C$ có $B C = a$ , $\hat{B} = α$ , $\hat{C} = β$ . Viết công thức tính $A B$ và $A C$ theo $a$ , $α$ , $β$ .

Lời giải chi tiết:

Dựa vào định lý sin trong tam giác $A B C$ , ta có:

$\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C} = 2 R$ .

Với $B C = a$ , $\hat{B} = α$ , $\hat{C} = β$ , suy ra $\hat{A} = 180^{o} - (α + β)$ .

Do đó:

- $A B = c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{a \cdot \sin β}{\sin (180^{o} - (α + β))} = \frac{a \cdot \sin β}{\sin (α + β)}$

- $A C = b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{a \cdot \sin α}{\sin (180^{o} - (α + β))} = \frac{a \cdot \sin α}{\sin (α + β)}$

Vậy công thức tính là:

$A B = \frac{a \sin β}{\sin (α + β)}$ ; $A C = \frac{a \sin α}{\sin (α + β)}$ .