Giải mục I trang 81, 82

Nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: x + 2y – 2 = 0 với mỗi đường thẳng sau:

HĐ Khởi động

Lời giải chi tiết:

Để xác định điểm M ta cần giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng của hai đường thẳng a và b.

Hoạt động 1

Nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng trong mặt phẳng thì cắt nhau hoặc song song hoặc trùng nhau.

Hoạt động 2

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ . Nêu điều kiện về hai vectơ $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ ;

b) $Δ_{1}$ song song với $Δ_{2}$ ;

c) $Δ_{1}$ trùng với $Δ_{2}$ .

Lời giải chi tiết:

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ . Khi đó:

a) $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ khi và chỉ khi $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ không cùng phương.

b) $Δ_{1}$ song song với $Δ_{2}$ khi và chỉ khi $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại.

c) $Δ_{1}$ trùng với $Δ_{2}$ khi và chỉ khi $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó.

Luyện tập – vận dụng 1

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $Δ_{1} : {\begin{cases} x = 1 + t_{1} \\ y = - 2 + t_{1} \end{cases}$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = 2 t_{2} \\ y = - 3 + 2 t_{2} \end{cases}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\vec{u_{1}} = (1; 1), \vec{u_{2}} = (2; 2)$ . Ta thấy, $\vec{u_{2}} = 2 \vec{u_{1}}$ .

Chọn điểm $A (1; - 2) \in Δ_{1}$ . Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng $Δ_{2}$ ta được $t_{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow A (1; - 2) \in Δ_{2}$ .

Vậy 2 đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ song song với nhau.

Luyện tập – vận dụng 2

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: x + 2y – 2 = 0 với mỗi đường thẳng sau:

$Δ_{1} : 3 x - 2 y + 6 = 0$ ;

$Δ_{2} : x + 2 y + 2 = 0$ ;

$Δ_{3} : 2 x + 4 y - 4 = 0$ .

Lời giải chi tiết:

Xét hệ phương trình gồm phương trình của d và $Δ_{1}$ ta có: ${\begin{cases} x + 2 y - 2 = 0 \\ 3 x - 2 y + 6 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = - 1 \\ y = \frac{3}{2} \end{cases}$

Vậy d và $Δ_{1}$ cắt nhau tại 1 điểm duy nhất.

Xét hệ phương trình gồm phương trình của d và $Δ_{2}$ ta có: ${\begin{cases} x + 2 y - 2 = 0 \\ x + 2 y + 2 = 0 \end{cases}$ . Hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy d và $Δ_{2}$ song song với nhau.

Xét hệ phương trình gồm phương trình của d và $Δ_{3}$ ta có: ${\begin{cases} x + 2 y - 2 = 0 \\ 2 x + 4 y - 4 = 0 \end{cases}$ . Hệ phương trình vô số nghiệm.

Vậy d và $Δ_{3}$ trùng nhau.