Giải mục I trang 81, 82 SGK Toán 10 tập 2 - Cánh diều

HĐ Khởi động

Lời giải chi tiết:

Để xác định điểm M ta cần giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng của hai đường thẳng a và b.

Hoạt động 1

Nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng trong mặt phẳng thì cắt nhau hoặc song song hoặc trùng nhau.

Hoạt động 2

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ . Nêu điều kiện về hai vectơ $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ ;

b) $Δ_{1}$ song song với $Δ_{2}$ ;

c) $Δ_{1}$ trùng với $Δ_{2}$ .

Lời giải chi tiết:

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ . Khi đó:

a) $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ khi và chỉ khi $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ không cùng phương.

b) $Δ_{1}$ song song với $Δ_{2}$ khi và chỉ khi $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại.

c) $Δ_{1}$ trùng với $Δ_{2}$ khi và chỉ khi $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó.

Luyện tập – vận dụng 1

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $Δ_{1} : {\begin{cases} x = 1 + t_{1} \\ y = - 2 + t_{1} \end{cases}$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = 2 t_{2} \\ y = - 3 + 2 t_{2} \end{cases}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\vec{u_{1}} = (1; 1), \vec{u_{2}} = (2; 2)$ . Ta thấy, $\vec{u_{2}} = 2 \vec{u_{1}}$ .

Chọn điểm $A (1; - 2) \in Δ_{1}$ . Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng $Δ_{2}$ ta được $t_{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow A (1; - 2) \in Δ_{2}$ .

Vậy 2 đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ song song với nhau.

Luyện tập – vận dụng 2

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: x + 2y – 2 = 0 với mỗi đường thẳng sau:

$Δ_{1} : 3 x - 2 y + 6 = 0$ ;

$Δ_{2} : x + 2 y + 2 = 0$ ;

$Δ_{3} : 2 x + 4 y - 4 = 0$ .

Lời giải chi tiết:

Xét hệ phương trình gồm phương trình của d và $Δ_{1}$ ta có: ${\begin{cases} x + 2 y - 2 = 0 \\ 3 x - 2 y + 6 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = - 1 \\ y = \frac{3}{2} \end{cases}$

Vậy d và $Δ_{1}$ cắt nhau tại 1 điểm duy nhất.

Xét hệ phương trình gồm phương trình của d và $Δ_{2}$ ta có: ${\begin{cases} x + 2 y - 2 = 0 \\ x + 2 y + 2 = 0 \end{cases}$ . Hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy d và $Δ_{2}$ song song với nhau.

Xét hệ phương trình gồm phương trình của d và $Δ_{3}$ ta có: ${\begin{cases} x + 2 y - 2 = 0 \\ 2 x + 4 y - 4 = 0 \end{cases}$ . Hệ phương trình vô số nghiệm.

Vậy d và $Δ_{3}$ trùng nhau.