Giải mục I trang 83, 84, 85 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều

Hoạt động 1

Một vât dịch chuyển từ A đến B và tiếp tục dịch chuyển từ B đến C (Hình 49).

a) Biểu diễn vecto dịch chuyển của vật từ A đến B và từ B đến C.

b) Xác định vecto dịch chuyển tổng hợp của vật.

Lời giải chi tiết:

a) Vecto dịch chuyển của vật từ A đến B là $\vec{A B}$ và từ B đến C là $\vec{B C}$ .

b) Tóm lại vật đó dịch chuyển từ A đến C, vecto dịch chuyển tổng hợp của vật là $\vec{A C}$ .

Hoạt động 2

Cho hai vecto $\vec{a}, \vec{b}$ . Lấy một điểm A tùy ý.

a) Vẽ $\vec{A B} = a$ , $\vec{B C} = b$ (Hình 50).

b) Tổng của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng vecto nào?

Phương pháp giải:

a) Nêu cách xác định điểm B, điểm C.

b) Xác định tổng của hai vecto $\vec{A B}$ và $\vec{B C}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Gọi M, N lần lượt là điểm đầu và điểm cuối của vecto $\vec{a}$ .

Vì $\vec{a} = \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{M N} = \vec{A B}$ nên tứ giác MNBA là hình bình hành.

Nói cách khác B là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto $\vec{a}$ và điểm A.

Tương tự, C là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto $\vec{b}$ và điểm B.

b) Dễ thấy: tổng của hai vecto $\vec{A B}$ và $\vec{B C}$ là vecto $\vec{A C}$ .

Do đó tổng của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng vecto $\vec{A C}$ .

Ta có viết: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

LT-VD 1

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh $\vec{P B} + \vec{M C} = \vec{A N}$ .

Phương pháp giải:

Bước 1: Chứng minh $\vec{P B} = \vec{N M}; \vec{A N} = \vec{N C}$ .

Bước 2: Tính tổng $\vec{P B} + \vec{M C} = \vec{N M} + \vec{M C} = \vec{N C} = \vec{A N}$ .

Lời giải chi tiết:

Do M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

$\Rightarrow M N = \frac{A B}{2} = P B$ và MN // PB.

$\Rightarrow \vec{P B} = \vec{N M}$ .

Ta có: $\vec{P B} + \vec{M C} = \vec{N M} + \vec{M C} = \vec{N C}$ .

Lại có: $\vec{N C} = \vec{A N}$ (do N là trung điểm của AC).

Vậy $\vec{P B} + \vec{M C} = \vec{A N}$ .

Hoạt động 3

Cho ABCD là hình bình hành (Hình 52). So sánh:

a) Hai vecto $\vec{A D}$ và $\vec{B C}$ .

b) Vecto tổng $\vec{A B} + \vec{A D}$ và vecto $\vec{A C}$ .

Phương pháp giải:

a) Nhận xét về giá, hướng và độ dài của hai vecto đó.

b) Thay vecto $\vec{A D}$ bởi vecto $\vec{B C}$ trong tổng rồi tính.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: ${\begin{cases} A D / / B C \\ A D = B C \end{cases}$ (do tứ giác ABCD là hình bình hành).

$\Rightarrow \vec{A D} = \vec{B C}$ .

b) Ta có: $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

LT-VD 2

Hãy giải thích hướng đi của thuyền ở Hình 48.

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi tên các lực tác động lên thuyền.

Bước 2: Vận dụng quy tắc hình bình hành tính tổng hai lực.

Lời giải chi tiết:

Gọi vecto $\vec{A B}, \vec{A D}$ là các vecto biểu diễn lực mà hai người cùng tác động lên điểm A của thuyền.

Khi đó thuyền chịu một lực là tổng hai lực kéo đó.

Vậy thuyền đi theo hướng của vecto tổng $\vec{A B} + \vec{A D}$ .

Vẽ hình bình hành ABCD. Khi đo ta có: $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Vậy khi hai người cùng kéo, thuyền đi theo vecto đường chéo của hình bình hành tạo bởi hai lực kéo của hai người.

LT-VD 3

Cho hình bình hành ABCD và điểm E bất kì. Chứng minh: $\vec{A B} + \vec{C E} + \vec{A D} = \vec{A E}$ .

Phương pháp giải:

Bước 1: Sử dụng tính chất giao hoán, ta tính: $(\vec{A B} + \vec{A D}) + \vec{C E}$ .

Bước 2: Vận dụng quy tắc hình bình hành, chỉ ra $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ từ đó suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\vec{A B} + \vec{C E} + \vec{A D} = (\vec{A B} + \vec{A D}) + \vec{C E}$ (tính chất giao hoán).

Mà theo quy tắc hình bình hành ta có: $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Suy ra $\vec{A B} + \vec{C E} + \vec{A D} = \vec{A C} + \vec{C E} = \vec{A E}$ .

Vậy $\vec{A B} + \vec{C E} + \vec{A D} = \vec{A E}$ với điểm E bất kì.