Giải mục I trang 87, 88, 89 SGK Toán 10 tập 2 - Cánh diều

HĐ Khởi động

Lời giải chi tiết:

Người đó chuyển động theo quỹ đạo đường tròn nên để xác định phương trình quỹ đạo chuyển động của người đó ta cần phải lập phương trình đường tròn.

Hoạt động 1

a) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ C(0; 0) đến điểm M(3; 4) trong mặt phẳng toạ độ Oxy.

b) Cho hai điểm I(a; b) và M(x; y) trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Nêu công thức tính độ dài đoạn thẳng IM.

Phương pháp giải:

a) Tính độ dài vecto $\vec{C M}$ .

b) Dựa vào lý thuyết công thức tính độ dài đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Khoảng cách từ gốc tọa độ $O (0; 0)$ đến điểm $M (3; 4)$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy là:

$O M = | \vec{O M} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ .

b) Với hai điểm I(a; b) và M(x ; y) trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta có:

$I M = \sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}}$ .

Hoạt động 2

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nêu mối liên hệ giữa x và y để:

a) Điểm M(x; y) nằm trên đường tròn tâm O(0; 0) bán kính 5.

b) Điểm M(x; y) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b) bán kính R.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Mối liên hệ giữa x và y là:

$x^{2} + y^{2} = 5$ .

b) Mối liên hệ giữa x và y là:

${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = R^{2}$ .

Hoạt động 3

Viết phương trình đường tròn (C): ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = R^{2}$ về dạng $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ .

Phương pháp giải:

Khai triển hằng đẳng thức rồi rút gọn.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = R^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 a x + a^{2} + y^{2} - 2 b y + b^{2} - R^{2} = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$

$(a^{2} + b^{2} - R^{2} = c)$ .

Luyện tập – vận dụng 1

Viết phương trình đường tròn tâm I(6; -4) đi qua điểm A(8; -7).

Phương pháp giải:

Lập phương trình đường tròn tâm I, bán kính IA.

Lời giải chi tiết:

$\vec{I A} = (8 - 6; - 7 + 4) = (2; - 3)$ .

$I A = | \vec{I A} | = \sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{13}$ .

Phương trình đường tròn tâm I bán kính IA là:

${(x - 6)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 13$ .

Luyện tập – vận dụng 2

Tìm k sao cho phương trình: $x^{2} + y^{2} + 2 k x + 4 y + 6 k - 1 = 0$ là phương trình đường tròn.

Phương pháp giải:

Phương trình $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình đường tròn khi $\sqrt{a^{2} + b^{2} - c} > 0$ .

Lời giải chi tiết:

Để phương trình trên là phương trình đường tròn thì

${(- k)}^{2} + {(- 2)}^{2} > 6 k - 1$

$\Leftrightarrow k^{2} + 4 - 6 k + 1 > 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} k < 1 \\ k > 5 \end{array}$

Luyện tập – vận dụng 3

Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3).

Phương pháp giải:

Gọi I là tâm đường tròn. Cho IA = IB = IC rồi giải phương trình, tìm tọa độ điểm I.

Từ đó tìm bán kính và viết phương trình đường tròn.

Lời giải chi tiết:

Giả sử tâm đường tròn là điểm $I (a; b)$ . Ta có:

$I A = I B = I C \Leftrightarrow I A^{2} = I B^{2} = I C^{2}$ .

Vì $I A^{2} = I B^{2}, I B^{2} = I C^{2}$ nên:

${\begin{cases} {(1 - a)}^{2} + {(2 - b)}^{2} = {(5 - a)}^{2} + {(2 - b)}^{2} \\ {(5 - a)}^{2} + {(2 - b)}^{2} = {(1 - a)}^{2} + {(- 3 - b)}^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} a = 3 \\ b = \frac{- 1}{2} \end{cases}$

Vậy $I (3; - \frac{1}{2})$ và $R = I A = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{41}}{2}$ .

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C là:

${(x - 3)}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{41}{4}$ .