Giải mục II trang 67, 68
Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC =7. Tính cosA.
Hoạt động 6
Cho αα là góc nhọn, chứng minh:
a) HC=|AC−AH|HC=|AC−AH| và BC2=AB2+AC2−2AH.AC;
b) a2=b2+c2−2bccosα.
Lời giải chi tiết:
a) Nếu góc C nhọn thì H nằm giữa A và C. Do đó HC=AC−AH=|AC−AH| (Hình 7).
Nếu góc C tù thì C nằm giữa A và H. Do đó HC=AH−AC=|AC−AH| (Hình 8).
Nếu góc C vuông thì C trùng với H. Do đó HC=0=|AC−AH|.
Trong mọi trường hợp, ta đều có HC=|AC−AH|.
Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có: BC2=BH2+HC2=BH2+(AC−AH)2=(BH2+AH2)+AC2−2AH.AC =AB2+AC2−2AH.AC.
b) Xét tam giác vuông AHB, ta có: AH=ABcosA=ccosα.
Do đó BC2=AB2+AC2−2AH.AC=b2+c2−2bccosα.
Vậy a2=b2+c2−2bccosα.
Hoạt động 7
Cho α là góc tù. Chứng minh:
a) HC=AC+AH và BC2=AB2+AC2+2AH.AC;
b) a2=b2+c2−2bccosα.
Lời giải chi tiết:
a) Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có:
BC2=BH2+HC2=BH2+(AC+AH)2
=(BH2+AH2)+AC2+2AH.AC
=AB2+AC2+2AH.AC.
b) Xét tam giác vuông AHB, ta có:
AH=ABcos(180o−α)=−ccosα.
Do đó BC2=AB2+AC2+2AH.AC=b2+c2−2bccosα.
Vậy a2=b2+c2−2bccosα.
Hoạt động 8
Cho α là góc vuông. Chứng minh a2=b2+c2−2bc.cosα.
Phương pháp giải:
Dựa vào định lí Pytago cho tam giác ABC: a2=b2+c2.
Lời giải chi tiết:
Ta có: α=90o⇒cosα=cos90o=0.
⇒b2+c2−2bc.cosα=b2+c2.
Mà tam giác ABC có α=90o nên: a2=b2+c2.
Do đó a2=b2+c2−2bc.cosα (đpcm).
Luyện tập – vận dụng 2
Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC = 7. Tính cosA.
Phương pháp giải:
Bước 1: Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC: a2=b2+c2−2bc.cosA.
Bước 2: Thay số, suy ra cosA.
Lời giải chi tiết:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:
a2=b2+c2−2bc.cosA
⇒cosA=b2+c2−a22bc.
Mà AB=c=5,AC=b=6,BC=a=7.
⇒cosA=62+52−722.5.6=15.
Chú ý
Từ định lí cosin, ta suy cách tìm góc khi biết độ dài 3 cạnh
cosA=b2+c2−a22bc;cosB=a2+c2−b22ac;cosC=b2+a2−c22ab.