Giải mục II trang 69

Hoạt động 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm $A\left(x_A,y_A\right),B\left(x_B,y_B\right)$. Gọi $M\left(x_M,y_M\right)$ là trung điểm của đoạn thẳng AB (minh họa hình 19).

a) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{OM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$.

b) Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có vectơ $\overrightarrow{OM}$ biểu diễn theo hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ là: $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$.

b) Do tọa độ hai điểm A và B là: $A\left(x_A,y_A\right),B\left(x_B,y_B\right)$ nên ta có: $\overrightarrow{OA}=\left(x_A,y_A\right),\overrightarrow{OB}=\left(x_B,y_B\right)$.

Vậy $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(x_A+x_B;y_A+y_B\right)=\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

Tọa độ điểm M chính là tọa độ của vectơ nên tọa độ M  là $M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

Hoạt động 3

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G (minh họa ở Hình 20).

a) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{OG}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OC}$.

b) Tìm tọa độ G theo tọa độ của A, B, C.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có vectơ $\overrightarrow{OG}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OC}$ là:

$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$.

b) Do tọa độ ba điểm A, B và C là: $A\left(x_A,y_A\right)$, $B\left(x_B,y_B\right)$, $C\left(x_C,y_C\right)$ nên ta có:

$\overrightarrow{OA}=\left(x_A,y_A\right)$, $\overrightarrow{OB}=\left(x_B,y_B\right)$, $\overrightarrow{OC}=\left(x_C,y_C\right)$.

Vậy $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$

$=\frac{1}{3}\left(x_A+x_B+x_C;y_A+y_B+y_C\right)=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.

Tọa độ điểm G chính là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OG}$ nên tọa độ G là $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.

Luyện tập – vận dụng 3

Cho hai điểm A(2; 4) và M(5; 7). Tìm toạ độ điểm B sao cho M là trung điểm đoạn thẳng AB.

Lời giải chi tiết:

Giả sử B có tọa độ: $B\left(x_B,y_B\right)$.

Do M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên:

$\{\begin{array}{c}{x}_M=\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}{x}_B=2x_M-x_A\\ y_B=2y_M-y_A\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}{x}_B=2.5-2=8\\ y_B=2.7-4=10\end{array}$

Vậy tọa độ điểm B là: $B\left(8;10\right)$.

Luyện tập – vận dụng 4

Cho ba điểm A(-1; 1), B(1; 5), G(1; 2).

a) Chứng minh ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Tìm toạ độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2;4\right)$, $\overrightarrow{AG}=\left(2;1\right)$.

Do $\overrightarrow{AB}\ne k.\overrightarrow{AG}$ nên A, B, G không thẳng hàng.

b) Giả sử C có tọa độ là: $C\left(x_C;y_C\right)$.

Để G là trọng tâm tam giác ABC thì:

$\{\begin{array}{c}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}{x}_C=3x_G-x_A-x_B\\ y_C=3y_G-y_A-y_B\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}{x}_C=3.1-\left(-1\right)-1=3\\ y_C=3.2-1-5=0\end{array}$

Vậy tọa độ điểm C là: $C\left(3;0\right)$.