Giải mục II trang 73, 74, 75

Luyện tập – vận dụng 1

Cho tam giác ABC có AB = 12; $\hat{B} = 60^{o}$ ; $\hat{C} = 45^{o}$ . Tính diện tích của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính AC, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC.

Bước 2: Tính $\hat{A}$ . Suy ra diện tích tam giác ABC bằng công thức $S = \frac{1}{2} b c . \sin A$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C}$

$\Rightarrow A C = \sin B . \frac{A B}{\sin C} = \sin 60^{o} . \frac{12}{\sin 45^{o}} = 6 \sqrt{6}$

Lại có: $\hat{A} = 180^{o} - (60^{o} + 45^{o}) = 75^{o}$

$\Rightarrow$ Diện tích tam giác ABC là:

$S = \frac{1}{2} A B . A C . \sin A = \frac{1}{2} .12 .6 \sqrt{6} . \sin 75^{o} \approx 85, 2$

Vậy diện tích tam giác ABC là 85,2.

Hoạt động 5

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và diện tích là S (Hình 24).

a) Từ định lí cosin, chứng tỏ rằng:

$\sin A = \frac{2}{b c} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ở đó $p = \frac{a + b + c}{2}$ .

b) Bằng cách sử dụng công thức $S = \frac{1}{2} b c \sin A$ , hãy chứng tỏ rằng: $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính cos A theo a, b, c.

Bước 2: Tính sin A theo cos A.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A$

$\Rightarrow \cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ .

Mà $\sin A = \sqrt{1 - \cos^{2} A}$ .

$\Rightarrow \sin A = \sqrt{1 - {(\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})}^{2}} = \sqrt{\frac{{(2 b c)}^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}}{{(2 b c)}^{2}}}$

$\Leftrightarrow \sin A = \frac{1}{2 b c} \sqrt{{(2 b c)}^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}}$

Đặt $M = \sqrt{{(2 b c)}^{2} - {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt{(2 b c + b^{2} + c^{2} - a^{2}) (2 b c - b^{2} - c^{2} + a^{2})} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt{[{(b + c)}^{2} - a^{2}] . [a^{2} - {(b - c)}^{2}]} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt{(b + c - a) (b + c + a) (a - b + c) (a + b - c)} \end{array}$

Ta có: $a + b + c = 2 p$ $\Rightarrow {\begin{cases} b + c - a = 2 p - 2 a = 2 (p - a) \\ a - b + c = 2 p - 2 b = 2 (p - b) \\ a + b - c = 2 p - 2 c = 2 (p - c) \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt{2 (p - a) .2 p .2 (p - b) .2 (p - c)} \\ \Leftrightarrow M = 4 \sqrt{(p - a) . p . (p - b) . (p - c)} \\ \Rightarrow \sin A = \frac{1}{2 b c} .4 \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} \\ \Leftrightarrow \sin A = \frac{2}{b c} . \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} \end{array}$

b) Ta có: $S = \frac{1}{2} b c \sin A$

Mà $\sin A = \frac{2}{b c} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{1}{2} b c . (\frac{2}{b c} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}) \\ \Leftrightarrow S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} . \end{array}$