Giải mục II trang 75, 76

Hoạt động 3

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta$. Vẽ vectơ $\overrightarrow{n}$ ($\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$) có giá vuông góc với đường thẳng $\Delta$.

Lời giải chi tiết:

Nhận xét

• Nếu $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của $\Delta$ thì $k\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}\left(k\ne 0\right)$ cũng là một vectơ pháp tuyến của $\Delta$.

• Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

• Nếu đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)$ thì vectơ $\overrightarrow{n}=\left(-b;a\right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\Delta$.

Hoạt động 4

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_o\left(x_o;y_o\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$. Xét điểm M(x; y) nằm trên $\Delta$ (Hình 28).

a) Nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{M_{o}M}$.

b) Tìm mối liên hệ giữa toạ độ của điểm M với toạ độ của điểm $M_o$ và toạ độ của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$.

Lời giải chi tiết:

a) Phương của hai vecto $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{M_{o}M}$ vuông góc với nhau.

b) Ta có: $\overrightarrow{M_{o}M}=\left(x-x_o;y-y_o\right)$, $\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)$.

Xét điểm $M\left(x;y\right)\in \Delta$. Vì $\overrightarrow{M_{o}M}\perp \overrightarrow{n}$ nên:

$\overrightarrow{M_{o}M}.\overrightarrow{n}=0$

$\iff a\left(x-x_o\right)+b\left(y-y_o\right)=0$

$\iff ax+by-a{x}_o+b{y}_o=0$.

Luyện tập – vận dụng 2

Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình tổng quát là: $x-y+1=0$ .

a) Chỉ ra toạ độ của một vectơ pháp tuyến và một vectơ chỉ phương của $\Delta$.

b) Chỉ ra toạ độ của hai điểm thuộc $\Delta$.

Lời giải chi tiết:

a) Tọa độ vecto pháp tuyến của $\Delta$ là: $\overrightarrow{n}(1;-1)$.

Tọa độ vecto chỉ phương của $\Delta$ là: $\overrightarrow{u}(1;1)$.

b) Chọn $x=0;x=1$ ta lần được được 2 điểm A và B thuộc đường thẳng $\Delta$ là: $A\left(0;1\right),B\left(1;2\right)$.

Hoạt động 5

Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình tổng quát ax + bx + c = 0 (a hoặc b khác 0). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng $\Delta$ với các trục toạ độ trong môi trường hợp sau:

a) $b=0$ và $a\ne 0$;

b) $b\ne 0$ và $a=0$;

c) $b\ne 0$ và $a\ne 0$.

Lời giải chi tiết:

a) Nếu  b = 0 và $a\ne 0$ thì phương trình đường thẳng $\Delta$ trở thành $ax+c=0$ . Khi đó đường thẳng $\Delta$ song song hoặc trùng với trục $Oy$ và cắt trục $Ox$ tại điểm $\left(-\frac{c}{a};0\right)$.

b) $b\ne 0$ và a = 0 thì phương trình đường thẳng $\Delta$ trở thành $by+c=0$ . Khi đó đường thẳng $\Delta$ song song hoặc trùng với trục $Ox$ và cắt trục $Oy$ tại điểm $\left(0;-\frac{c}{b}\right)$.

c) Nếu $b\ne 0$ và $a\ne 0$thì phương trình đường thẳng $\Delta$ có thể viết thành $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$. Khi đó, đường thẳng $\Delta$ là đồ thị hàm số bậc nhất $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$vời hệ số góc là $k=-\frac{a}{b}$.