Giải mục II trang 83, 84 SGK Toán 10 tập 2 - Cánh diều

Hoạt động 3

Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau tại A tạo thành bốn góc đỉnh A (quy ước không kể góc bẹt và góc không).

Quan sát Hình 40a và đọc tên một góc nhọn trong bốn góc đó.

Quan sát Hình 40b và nêu đặc điểm bốn góc tại đỉnh A.

Lời giải chi tiết:

Trong hình 40a, ta có góc $\hat{A_{1}}$ là một góc nhọn.

Trong hình 40b thì ta có 4 góc tại đỉnh A là một góc vuông.

Hoạt động 4

Cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ cắt nhau tại I và có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ . Gọi A và B là các điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ sao cho $\vec{u_{1}} = \vec{I A}, \vec{u_{2}} = \vec{I B}$ .

a) Quan sát Hình 41a, Hình 41b, hãy nhận xét về độ lớn của góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ và độ lớn của góc giữa hai vectơ $\vec{I A}$ , $\vec{I B}$ .

b) Chứng tỏ $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = | \cos (\vec{I A}, \vec{I B}) |$ .

Lời giải chi tiết:

a) Độ lớn của góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ và độ lớn của góc giữa hai vectơ $\vec{I A}$ , $\vec{I B}$ có thể bẳng nhau hoặc bù nhau.

b) Nếu $(\vec{I A}, \vec{I B}) \leq 90^{o}$ thì $(Δ_{1}, Δ_{2}) = (\vec{I A}, \vec{I B})$ . Do đó, $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \cos (\vec{I A}, \vec{I B})$ và $\cos (\vec{I A}, \vec{I B}) \geq 0$ .

Nếu $(\vec{I A}, \vec{I B}) > 90^{o}$ thì $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 180^{o} - (\vec{I A}, \vec{I B})$ . Do đó, $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = - \cos (\vec{I A}, \vec{I B})$ và $\cos (\vec{I A}, \vec{I B}) < 0$ .

Vậy ta có: $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = | \cos (\vec{I A}, \vec{I B}) |$ .

Hoạt động 5

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2})$ . Tính $\cos (Δ_{1}, Δ_{2})$ .

Lời giải chi tiết:

$\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = | \cos (\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}) | = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}$ .

Luyện tập – vận dụng 3

Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $Δ_{1} : {\begin{cases} x = - 3 + 3 \sqrt{3} t \\ y = 2 + 3 t \end{cases}$ và $Δ_{2} : y - 4 = 0$ .

b) $Δ_{1} : 2 x - y = 0$ và $Δ_{2} : - x + 3 y - 5 = 0$ .

Lời giải chi tiết:

a) $Δ_{1}$ có vecto chỉ phương là $\vec{u_{1}} = (3 \sqrt{3}; 3)$ , từ đó ta suy ra vecto pháp tuyến là $\vec{n_{1}} = (- 3; 3 \sqrt{3})$ .

Các vecto pháp tuyến của $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ lần lượt là $\vec{n_{1}} = (- 3; 3 \sqrt{3})$ và $\vec{n_{2}} = (0; 1)$ .

$\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| - 3.0 + 3 \sqrt{3} .1 |}{\sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}} . \sqrt{0^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , suy ra $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 30^{o}$ .

b) Các vecto pháp tuyến của $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ lần lượt là $\vec{n_{1}} = (2; - 1)$ và $\vec{n_{2}} = (- 1; 3)$ .

$\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{| 2. (- 1) - 1.3 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}} . \sqrt{{(- 1)}^{2} + 3^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , suy ra $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 45^{o}$ .