Giải mục V trang 8

Hoạt động 6

Cho tam giác ABC. Xét mệnh đề dạng $P\Rightarrow Q$ như sau:

“Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tam giác ABC có $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$”.

Phát biểu mệnh đề $Q\Rightarrow P$ và xác định tính đúng sai của hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$.

Phương pháp giải:

Viết mệnh đề kéo theo $Q\Rightarrow P$, sử dụng một trong các dạng “Nếu Q thì P”, “Q kéo theo P”, “Q suy ra P”, “Vì Q nên P”.

Xét tính đúng sai của hai mệnh đề.

Lời giải chi tiết:

P: “tam giác ABC vuông tại A”

Q: “tam giác ABC có $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$”

+) Mệnh đề $Q\Rightarrow P$ là “Nếu tam giác ABC có $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$thì tam giác ABC vuông tại A”

+) Từ định lí Pytago, ta có:

Tam giác ABC vuông tại A thì $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

Và: Tam giác ABC có $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ thì vuông tại A.

Do vậy, hai mệnh đề “$P\Rightarrow Q$” và “$Q\Rightarrow P$” đều đúng.

Luyện tập – Vận dụng 6

Cho tam giác ABC. Từ các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC đều”

Q: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$”,

Hãy phát biểu hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ và xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề đó.

Nếu cả hai mệnh đề trên đều đúng, hãy phát biểu mệnh đề tương đương.

Phương pháp giải:

+) Mệnh đề kéo theo $P\Rightarrow Q$ có dạng “Nếu P thì Q”, “P kéo theo Q”, “P suy ra Q”, “Vì P nên Q”.

+) Mệnh đề tương đương $P\iff Q$ có thể phát biểu ở những dạng sau:

“P tương đương Q”, “P là điều kiện cần và đủ để có Q”, “P khi và chỉ khi Q”, “P nếu và chỉ nếu”

Lời giải chi tiết:

+) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là: “Vì tam giác ABC đều nên tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$”.

+) Mệnh đề $Q\Rightarrow P$ là: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$ suy ra tam giác ABC đều”.

Dễ thấy cả hai mệnh đề trên đều đúng.

+) Mệnh đề tương đương: (dùng một trong các cách sau:)

“Tam giác ABC đều tương đương tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$”

“Tam giác ABC đều là điều kiện cần và đủ để có tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$”

“Tam giác ABC đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$”

“Tam giác ABC đều nếu và chỉ nếu tam giác ABC cân và có một góc bằng ${60}^o$”