a) Giới hạn bằng 0

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 0\) hay \(\lim {u_n} = 0\).

Nhận xét: Nếu \({u_n}\) ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì \(\lim {u_n} = 0\).

b) Giới hạn bằng a

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn là a khi n dần tới dương vô cực nếu \(\lim \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}\) hay \(\lim {u_n} = a\).

Chú ý:

- Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

- Không phải dãy số nào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {( - 1)^n}\).

c) Một số giới hạn hữu hạn cơ bản

Ta thừa nhận các giới hạn sau:

+ \(\lim \frac{1}{n} = 0\); \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) \(\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\);

+ \(\lim \frac{c}{n} = 0\); \(\lim \frac{c}{{{n^k}}} = 0\) \(\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) với c là hằng số;

+ \(\lim {q^n} = 0\) với \(\left| q \right| < 1\);

+ \(\lim c = c\) (c là hằng số);

+ \(\lim {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = e\) (\(e \approx 2,72\)).

d) Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số

Nếu \(\lim {u_n} = a\) và \(\lim {v_n} = b\) thì:

+ \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b\);

+ \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = a - b\);

+ \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b\);

+ \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\) (nếu \(b \ne 0\)).

Nếu \({u_n} \ge 0\) với mọi n và \(\lim {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}}  = \sqrt a \).

e) Ví dụ minh hoạ về giới hạn hữu hạn của dãy số

Tính các giới hạn sau:

1) \(\lim \left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\).

2) \(\lim \frac{{4n - 3}}{n}\).

3) \(\lim \left( {5 + \frac{1}{n}} \right)\left( {6 - \frac{1}{{{4^n}}}} \right)\).

Giải:

1) \(\lim \left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \lim 2 + \lim \frac{1}{{{n^2}}} = 2 + 0 = 2\).

2) \(\lim \frac{{4n - 3}}{n} = \lim \left( {\frac{{4n}}{n} - \frac{3}{n}} \right) = \lim 4 - \lim \frac{3}{n} = 4 - 0 = 4\).

3) \(\lim \left( {5 + \frac{1}{n}} \right)\left( {6 - \frac{1}{{{4^n}}}} \right) = \lim \left( {5 + \frac{1}{n}} \right).\lim \left[ {6 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right] = 5.6 = 30\).

a) Giới hạn vô cực

Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \( + \infty \) khi n dần tới dương vô cực, nếu \({u_n}\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty \) hay \(\lim {u_n} =  + \infty \).

Ta nói dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \( - \infty \) khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( { - {u_n}} \right) =  + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  - \infty \) hay \(\lim {u_n} =  - \infty \).

b) Một số quy tắc cần nhớ liên quan đến giới hạn vô cực

+ \(\lim {n^k} =  + \infty \) \(\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\);

+ \(\lim {q^n} =  + \infty \) \(\left( {q > 1} \right)\);

+ Nếu \(\lim {u_n} = a\) và \(\lim {v_n} =  \pm \infty \) thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0\);

+ Nếu \(\lim {u_n} = a\), a > 0 và \(\lim {v_n} = 0\), \({v_n} > 0\) với mọi n thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} =  + \infty \).

+ Nếu \(\lim {u_n} =  \pm \infty \) và \(\lim {v_n} = a > 0\) thì \(\lim {u_n}{v_n} =  \pm \infty \); nếu \(\lim {u_n} =  \pm \infty \) và \(\lim {v_n} = a < 0\) thì \(\lim {u_n}{v_n} =  \mp \infty \).

c) Ví dụ minh hoạ về giới hạn vô cực của dãy số

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } ({n^2} - 2n)\); \(\lim {\left( {\frac{e}{2}} \right)^n}\).

Giải:

* Ta có \({n^2} - 2n = {n^2}\left( {1 - \frac{2}{n}} \right)\). Hơn nữa \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {n^2} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {1 - \frac{2}{n}} \right) = 1\).

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } ({n^2} - 2n) =  + \infty \).

* Do \(\frac{e}{2} > 1\) nên \(\lim {\left( {\frac{e}{2}} \right)^n} =  + \infty \).