a) Giới hạn bằng 0

Dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực nếu $\left|u_n\right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\underset{n\to +\infty }{lim}{u}_n=0$ hay $lim{u}_n=0$.

Nhận xét: Nếu $u_n$ ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì $lim{u}_n=0$.

b) Giới hạn bằng a

Dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn là a khi n dần tới dương vô cực nếu $lim\left(u_n-a\right)=0$, kí hiệu $\underset{n\to +\infty }{lim}{u}_n$ hay $lim{u}_n=a$.

Chú ý:

- Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

- Không phải dãy số nào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=(-1{)}^n$.

c) Một số giới hạn hữu hạn cơ bản

Ta thừa nhận các giới hạn sau:

+ $lim\frac{1}{n}=0$; $lim\frac{1}{n^k}=0$ $\left(k\in N^{\ast }\right)$;

+ $lim\frac{c}{n}=0$; $lim\frac{c}{n^k}=0$ $\left(k\in N^{\ast }\right)$ với c là hằng số;

+ $lim{q}^n=0$ với $\left|q\right|<1$;

+ $limc=c$ (c là hằng số);

+ $lim{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$ ($e\approx 2,72$).

d) Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số

Nếu $lim{u}_n=a$ và $lim{v}_n=b$ thì:

+ $lim\left(u_n+v_n\right)=a+b$;

+ $lim\left(u_n-v_n\right)=a-b$;

+ $lim\left(u_n.v_n\right)=a.b$;

+ $lim\frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b}$ (nếu ).

Nếu với mọi n và thì và .

e) Ví dụ minh hoạ về giới hạn hữu hạn của dãy số

Tính các giới hạn sau:

1) .

2) .

3) .

Giải:

1) .

2) .

3) .

a) Giới hạn vô cực

Ta nói dãy số có giới hạn khi n dần tới dương vô cực, nếu có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu hay .

Ta nói dãy số có giới hạn khi n dần tới dương vô cực, nếu , kí hiệu hay .

b) Một số quy tắc cần nhớ liên quan đến giới hạn vô cực

+ ;

+ ;

+ Nếu và thì ;

+ Nếu , a > 0 và , với mọi n thì .

+ Nếu và thì ; nếu và thì .

c) Ví dụ minh hoạ về giới hạn vô cực của dãy số

Tính ; .

Giải:

* Ta có . Hơn nữa và .

Do đó, .

* Do nên .