Cho khoảng K chứa điểm \({x_0}\) và hàm số f(x) xác định trên K hoặc trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\). Hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \({x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \({x_n} \to {x_0}\) thì \(f\left( {{x_n}} \right) \to L\).

Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to {x_0}\).

Chú ý: Hàm số f(x) có thể không xác định tại \(x = {x_0}\) nhưng vẫn tồn tại giới hạn của hàm số đó khi x dần tới \({x_0}\).

Ta thừa nhận các định lí sau:

* Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M\) \(\left( {L,M \in \mathbb{R}} \right)\) thì:

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) + g(x)} \right] = L + M\);

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) - g(x)} \right] = L - M\);

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M\);

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{L}{M}\) (nếu \(M \ne 0\)).

* Nếu \(f(x) \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) thì \(L \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)}  = \sqrt L \).

* Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a;{x_0})\).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y = f(x)\) khi x dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(({x_n})\) bất kì, \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\), ta có \(f({x_n}) \to L\).

Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = L\).

* Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(({x_0};b)\).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y = f(x)\) khi x dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(({x_n})\) bất kì, \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\), ta có \(f({x_n}) \to L\).

Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = L\).

1) Tính:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^2} + x - 6)\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{2x - 1}}\).

Giải:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^2} + x - 6) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x - 6}}{{x + 2}} = 4 + 2 - 6 = 0\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{({x^2} + 2x + 3)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (2x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 3}}{{x + 2}} = \frac{{1 + 2 + 3}}{{2 - 1}} = 6\).

2) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \sqrt {2 - x} \).

Giải:

Xét dãy số \(({x_n})\) bất kì, \({x_n} < 2\) và \({x_n} \to 2\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to {2^ - }} (2 - {x_n}) = 2 - \mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to {2^ - }} {x_n} = 2 - 2 = 0\).

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to {2^ - }} \sqrt {2 - {x_n}}  = 0\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \sqrt {2 - x}  = 0\).