Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm - Toán 11
Giới hạn của hàm số - Từ điển môn Toán 11 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm - Toán 11
Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
2. Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số
3. Giới hạn một phía
4. Ví dụ minh hoạ về giới hạn hữu hạn của hàm số
1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số f(x) xác định trên K hoặc trên K∖{x0}. Hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn∈K∖{x0} và xn→x0 thì f(xn)→L.
Kí hiệu limx→x0f(x)=L hay f(x)→L khi x→x0.
Chú ý: Hàm số f(x) có thể không xác định tại x=x0 nhưng vẫn tồn tại giới hạn của hàm số đó khi x dần tới x0.
2. Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số
Ta thừa nhận các định lí sau:
* Nếu limx→x0f(x)=L và limx→x0g(x)=M (L,M∈R) thì:
+ limx→x0[f(x)+g(x)]=L+M;
+ limx→x0[f(x)−g(x)]=L−M;
+ limx→x0[f(x).g(x)]=L.M;
+ limx→x0f(x)g(x)=LM (nếu M≠0).
* Nếu f(x)≥0 và limx→x0f(x)=L thì L≥0 và limx→x0√f(x)=√L.
3. Giới hạn một phía
* Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x0).
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=f(x) khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a<xn<x0 và xn→x0, ta có f(xn)→L.
Kí hiệu limx→x−0f(x)=L.
* Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b).
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y=f(x) khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0<xn<b và xn→x0, ta có f(xn)→L.
Kí hiệu limx→x+0f(x)=L.
4. Ví dụ minh hoạ về giới hạn hữu hạn của hàm số
1) Tính:
a) limx→2(x2+x−6);
b) limx→1x2+2x+32x−1.
Giải:
a) limx→2(x2+x−6)=limx→2x2+limx→2x−6x+2=4+2−6=0.
b) limx→1x2+2x+32x−1=limx→1(x2+2x+3)x+2=limx→1x2+limx→1(2x)+limx→13x+2=1+2+32−1=6.
2) Tính limx→2−√2−x.
Giải:
Xét dãy số (xn) bất kì, xn<2 và xn→2, ta có:
limxn→2−(2−xn)=2−limxn→2−xn=2−2=0.
Suy ra limxn→2−√2−xn=0.
Vậy limx→2−√2−x=0.