* Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $(a;+\infty )$.

Ta nói hàm số $y=f\left(x\right)$ có giới hạn là số L khi x dần tới vô cực nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_n>a$ và $x_n\to +\infty$, ta có $f\left(x_n\right)\to L$.

Kí hiệu $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=L$ hay $f\left(x\right)\to L$ khi $x\to +\infty$.

* Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $(-\infty ;a)$.

Ta nói hàm số $y=f\left(x\right)$ có giới hạn là số L khi x dần tới âm vô cực nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_n<a$ và $x_n\to -\infty$, ta có $f\left(x_n\right)\to L$.

Kí hiệu $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=L$ hay $f\left(x\right)\to L$ khi $x\to -\infty$.

- Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

$\underset{x\to +\infty }{lim}c=c$; $\underset{x\to -\infty }{lim}c=c$; $\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{c}{x^k}=0$; $\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{c}{x^k}=0$.

- Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số khi $x\to x_0$ vẫn còn đúng khi $x\to +\infty$ hoặc $x\to -\infty$.

1) Tính $\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{2x+1}{x-1}$.

Giải:

$\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{2x+1}{x-1}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{x\left(2+\frac{1}{x}\right)}{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=\frac{2+0}{1-0}=2$.

2) Tính $\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{x^2-3x}{2x^2+1}$.

Giải:

$\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{x^2-3x}{2x^2+1}=\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{1-\frac{3}{x}}{2+\frac{1}{x^2}}=\frac{1-0}{2+0}=\frac{1}{2}$.

3) Tính $\underset{X\to -\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$.

Giải:

Ta có $\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(-\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}\right)=-\underset{x\to -\infty }{lim}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$

$=-\sqrt{\underset{x\to -\infty }{lim}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=-\sqrt{1+\underset{x\to -\infty }{lim}\frac{1}{x^2}}=-1$.