Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm - Toán 11

Từ điển Toán 11 | Các dạng bài tập Toán 11

Giới hạn của hàm số - Từ điển môn Toán 11

Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm - Toán 11

Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

Nội dung chính

1. Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

2. Một số quy tắc cần nhớ liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

3. Ví dụ minh hoạ về giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

1. Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

- Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; + \infty)$ .

Ta nói hàm số $y = f (x)$ có giới hạn là $+ \infty$ khi $x \to a^{+}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} > a$ và $x_{n} \to a$ , ta có $f (x_{n}) \to + \infty$ .

Kí hiệu $lim x \to a^{+} f (x) = + \infty$ hay $f (x) \to + \infty$ khi $x \to a^{+}$ .

- Các trường hợp $lim x \to a^{+} f (x) = - \infty$ ; $lim x \to a^{-} f (x) = + \infty$ ; $lim x \to a^{-} f (x) = - \infty$ được định nghĩa tương tự.

2. Một số quy tắc cần nhớ liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

Ta có các giới hạn thường dùng sau:

$lim x \to a^{+} \frac{1}{x - a} = + \infty$ và $lim x \to a^{-} \frac{1}{x - a} = - \infty$ $(a \in R)$ .

Quy tắc tìm giới hạn của tích $f (x) . g (x)$ :

Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{f (x)}{g (x)}$ :

3. Ví dụ minh hoạ về giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

1) Tính $lim x \to 2^{+} \frac{1}{x - 2}$ .

Giải:

Ta có: $lim x \to 2^{+} \frac{1}{x - 2} = + \infty$ .

2) Tính $lim x \to 2^{+} \frac{1 - 2 x}{x - 2}$ .

Giải:

a) Ta có $lim x \to 2^{+} (1 - 2 x) = 1 - 2 lim x \to 2^{+} x = 1 - 2 \cdot 2 = - 3; lim x \to 2^{+} \frac{1}{x - 2} = + \infty .$

Do đó $lim x \to 2^{+} \frac{1 - 2 x}{x - 2} = lim x \to 2^{+} [(1 - 2 x) \cdot \frac{1}{x - 2}] = - \infty .$

3) Tính $lim x \to 0 \frac{x + 1}{x^{2}}$ .

Giải:

Ta sử dụng quy tắc tìm giới hạn của thương. Rõ ràng, giới hạn của tử số $lim x \to 0 (x + 1) = 1$ .

Ngoài ra, mẫu số nhận giá trị dương với mọi $x \neq 0$ và $lim x \to 0 x^{2} = 0$ .

Do vậy $lim x \to 0 \frac{x + 1}{x^{2}} = + \infty$ .

4) Tính $lim x \to 1^{+} \frac{1}{x (1 - x)}$ và $lim x \to 1^{-} \frac{1}{x (1 - x)}$ .

Giải:

Viết $\frac{1}{x (1 - x)} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - x}$ , ta có $lim x \to 1^{+} \frac{1}{x} = 1 > 0$ .

Hơn nữa $lim x \to 1^{+} \frac{1}{1 - x} = - \infty$ do $1 - x < 0$ khi $x > 1$ .

Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích, ta được $lim x \to 1^{+} \frac{1}{x (1 - x)} = - \infty$ .

Lí luận tương tự, ta có $lim x \to 1^{-} \frac{1}{x (1 - x)} = + \infty$ .