- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; + \infty )\).

Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn là \( + \infty \) khi \(x\) dẫn tới vô cực nếu với dãy số \(({x_n})\) bất kì, \({x_n} > a\) và \({x_n} \to  + \infty \), ta có \(f({x_n}) \to  + \infty \).

Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  + \infty \) hay \(f(x) \to  + \infty \) khi \(x \to  + \infty \).

- Các trường hợp \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) =  - \infty \) được định nghĩa tương tự.

Ta có các giới hạn thường dùng sau:

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^k} =  + \infty \) với \(k\) nguyên dương;

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  + \infty \) nếu \(k\) là số nguyên dương chẵn;

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  - \infty \) nếu \(k\) là số nguyên dương lẻ.

1) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3}\).

Giải:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3} =  - \infty \).

2) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ({x^2} + 1)\).

Giải:

Viết \({x^2} + 1 = {x^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right).\)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^2} =  + \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{{x^2}}} = 1 + 0 = 1\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ({x^2} + 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} \right] =  + \infty .\)