Góc nhị diện là hình gồm hai nửa mặt phẳng có chung bờ.

Ví dụ minh hoạ:

Ta có góc nhị diện gồm hai nửa mặt phẳng (P) và (Q) có chung bờ là đường thẳng d, kí hiệu là [P, d, Q]. Đường thẳng d gọi là cạnh của góc nhị diện, mỗi nửa mặt phẳng (P) và (Q) gọi là một mặt của góc nhị diện.

Chú ý: Góc nhị diện còn được kí hiệu là [M, d, N] với M, N lần lượt là các điểm thuộc các nửa mặt phẳng (P), (Q) nhưng không thuộc đường thẳng d.

Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng nhị diện [P, a, Q] (gọi tắt là góc phẳng nhị diện).

Số đo của một góc phẳng nhị diện được gọi là số đo của góc nhị diện đó.

Nếu số đo góc phẳng nhị diện bằng ${90}^o$ thì góc nhị diện đó gọi là góc nhị diện vuông.

Số đo của góc nhị diện từ $0^o$ đến ${180}^o$.

Tính số đo của góc phẳng nhị diện.

Ví dụ minh hoạ:

1) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, $SA\perp \left(ABC\right)$, $SA=a\sqrt{3}$. Tính số đo của mỗi góc nhị diện sau:

a) [B, SA, C];

b) [A, BC, S].

Giải:

a) Vì $SA\perp \left(ABC\right)$ nên $SA\perp AB$, $SA\perp AC$. Do đó, góc $\widehat{BAC}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA, C].

Do tam giác ABC vuông cân tại B nên $\widehat{BAC}={45}^o$. Vậy số đo của góc nhị diện [B, SA, C] bằng ${45}^o$.

b) Vì $SA\perp \left(ABC\right)$ nên $SA\perp BC$. Mà $BC\perp AB$ nên $BC\perp \left(SAB\right)$, suy ra $BC\perp SB$. Do đó góc $\widehat{SBA}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, BC, S].

Trong tam giác vuông SAB, ta có:

$\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$. Suy ra $\widehat{SBA}={60}^o$.

Vậy số đo của góc nhị diện [A, BC, S] bằng ${60}^o$.

2) Cho hình chóp S.ABCD có $SA\perp \left(ABCD\right)$, đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a, AC = a, $SA=\frac{1}{2}a$. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình thoi ABCD và H là hình chiếu của O trên SC.

a) Tính số đo của các góc nhị diện [B, SA, D]; [S, BD, A]; [S, BD, C].

b) Chứng minh rằng BHD là một góc phẳng của góc nhị diện [B, SC, D].

Giải:

a) Vì $SA\perp \left(ABCD\right)$ nên AB và AD vuông góc với SA. Vậy $\widehat{BAD}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [B, SA, D].

Hình thoi ABCD có cạnh bằng a và AC = a nên các tam giác ABC, ACD đều. Do đó $BAD={120}^o$. Vậy số đo của góc nhị diện [B, SA, D] bằng ${120}^o$.

Vì $BD\perp AC$ và $BD\perp SA$ nên $BD\perp \left(SAC\right)$. Vậy AC và SO vuông góc với BD. Suy ra $\widehat{AOS}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BD, A] và $\widehat{COS}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BD, C].

Tam giác SAO vuông tại A và có $SA=\frac{1}{2}a=AO$ nên $\widehat{AOS}={45}^o$. Suy ra $\widehat{COS}={180}^o-\widehat{AOS}={135}^o$.

Vậy các góc nhị diện [S, BD, A], [S, BD, C] tương ứng có số đo là ${45}^o$, ${135}^o$.

b) Theo chứng minh trên, $BD\perp \left(SAC\right)$ nên $BD\perp SC$. Mặt khác, $OH\perp SC$ nên $SC\perp \left(BHD\right)$. Do đó, $\widehat{BHD}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [B, SC, D].