Giả sử hàm số $u=g\left(x\right)$ xác định trên $(a;b)$ và lấy giá trị trên $(c;d)$; $y=f\left(u\right)$ là hàm số của $u$, xác định trên $(c;d)$ và lấy giá trị trên $R$. Khi đó, ta có thể lập được một hàm số mới xác định trên $(a;b)$ và lấy giá trị trên $R$ theo quy tắc như hình.

Hàm số $y=f\left(g\left(x\right)\right)$ được gọi là hàm hợp của hai hàm số $y=f\left(u\right)$, $u=g\left(x\right)$.

Ví dụ minh hoạ:

1) Cho hàm số $y=f\left(u\right)=\sqrt{u}$ và $u=g\left(x\right)=x-2$. Tìm hàm hợp $y=f\left(g\right(x\left)\right)$ và tập xác định của nó.

Giải:

Ta có: $y=f\left(g\right(x\left)\right)=f(x-2)=\sqrt{x-2}$.

Hàm số trên xác định khi và chỉ khi  hay $x\ge 2$. Tập xác định của hàm số đó là $[2;+\infty )$.

2) Mỗi hàm số sau đây là hàm hợp của hai hàm số nào?

a) $y=\sin (2x+3)$;

b) $y=2\sin x+3$.

Giải:

a) Đặt $u=2x+3,$ ta có: $y=\sin u.$ Vậy $y=\sin (2x+3)$ là hàm hợp của hai hàm số $y=\sin u$, $u=2x+3.$

b) Đặt $u=\sin x,$ ta có: $y=2u+3.$ Vậy $y=2\sin x+3$ là hàm hợp của hai hàm số $y=2u+3,$ $u=\sin x.$

Nếu hàm số $u=g\left(x\right)$ có đạo hàm tại $x$ là ${u_x}^{\prime }$ và hàm số $y=f\left(u\right)$ có đạo hàm tại $u$ là ${y_u}^{\prime }$ thì hàm hợp $y=f\left(g\left(x\right)\right)$ có đạo hàm tại $x$ là ${y_x}^{\prime }={y_u}^{\prime }.{u_x}^{\prime }$.

Ví dụ minh hoạ:

1) Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) $y=(3-2x{)}^4$;

b) $y=\cos (4x+5)$.

Giải:

a) Đặt $u=3-2x$, ta có: $y=u^4$. Khi đó: ${y_u}^{\prime }=4u^3$; ${u_x}^{\prime }=-2$.

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có:

$y_{x^{\prime }}={y_u}^{\prime }\cdot {u_x}^{\prime }=4u^3\cdot (-2)=-8u^3=-8(3-2x{)}^3.$

b) Đặt $u=4x+5$, ta có $y=\cos u$. Khi đó: ${y_u}^{\prime }=-\sin u$; ${u_x}^{\prime }=4$.

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có:

${y_x}^{\prime }={y_u}^{\prime }\cdot {u_x}^{\prime }=(-\sin u)\cdot 4=-4\sin u=-4\sin (4x+5)$.

2) Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x^2+1}$.

Giải:

Đặt $u=x^2+1$ thì $y=\sqrt{u}$ và $y_u^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{u}}$, $u_x^{\prime }=2x$.

Theo công thức đạo hàm của hàm số hợp, ta có:

${y_x}^{\prime }={y_u}^{\prime }\cdot {u_x}^{\prime }=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là $y^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Trong thực hành, ta thường trình bày ngắn gọn như sau:

$y^{\prime }={\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^{\prime }=\frac{{\left(x^2+1\right)}^{\prime }}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

3) Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=(3x^2+x{)}^3$;

b) $y=\sin 2x$;

c) $y=e^{x^2+1}$.

Giải:

a) Đặt $u=3x^2+x$ thì $y=u^3$. Ta có ${u_x}^{\prime }=6x+1$ và ${y_u}^{\prime }=(u^3{)}^{\prime }=3u^2$.

Suy ra ${y_x}^{\prime }={y_u}^{\prime }$, $u_{x^{\prime }}=3u^2$. $(6x+1)=3(3x^2+x{)}^2$. $(6x+1)$.

Vậy $y^{\prime }=3(3x^2+x{)}^2$. $(6x+1)$.

b) Đặt $u=2x$ thì $y=\sin u$. Ta có ${u_x}^{\prime }=2$ và ${y_u}^{\prime }=(\sin u{)}^{\prime }=\cos u$.

Suy ra ${y_x}^{\prime }={y_u}^{\prime }$, ${u_x}^{\prime }=\cos u$, $2=2\cos 2x$.

Vậy $y^{\prime }=2\cos 2x$.

c) Đặt $u=x^2+1$ thì $y=e^u$. Ta có ${u_x}^{\prime }=2x$ và ${y_u}^{\prime }=(e^u{)}^{\prime }=e^u$.

Suy ra ${y_x}^{\prime }={y_u}^{\prime }$, ${u_x}^{\prime }=e^u$, $2x=2x{e}^{x^2+1}$.

Vậy $y^{\prime }=2x{e}^{x^2+1}$.