Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và f(-x) = f(x).

Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và f(-x) = -f(x).

Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

Nếu hàm số f(x) không phải hàm số chẵn, cũng không phải hàm số lẻ thì ta gọi hàm số đó không chẵn, không lẻ.

Bước 1: Xác định tính đối xứng của tập xác định.

- Nếu \(\forall x \in D\) ta có \( - x \in D\) thì tập xác định có tính đối xứng, ta làm tiếp Bước 2.

- Nếu \(\exists x \in D\) mà \( - x \notin D\), kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.

Bước 2: Xét tính chẵn, lẻ.

- Nếu f(-x) = f(x) thì hàm số đã cho là hàm số chẵn.

- Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Ví dụ minh hoạ:

1) Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số f(x) = xsinx.

Giải:

Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\). Do đó, nếu \(x \in D\) thì \( - x \in D\).

Ta có: f(-x) = (-x)sin(-x) = xsinx = f(x), \(\forall x \in D\).

Vậy f(x) = xsinx là hàm số chẵn.

2) Chứng tỏ rằng \(f(x) = 3{x^2} - 5\) là hàm số chẵn.

Giải:

Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\). Do đó, nếu \(x \in D\) thì \( - x \in D\).

Ta có \(f( - x) = 3{( - x)^2} - 5 = 3{x^2} - 5 = f(x)\).

Vậy \(f(x) = 3{x^2} - 5\) là hàm số chẵn.

3) Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác: a) y = cosx; b) y = tanx.

Giải:

a) Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\). Do đó, nếu \(x \in D\) thì \( - x \in D\).

Ta có f(-x) = cos(-x) = cosx = f(x).

Vậy y = cosx là hàm số chẵn.

b) Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Với mọi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) ta có \( - x \ne  - \frac{\pi }{2} - k\pi \), hay \( - x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do đó \( - x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Mặt khác f(-x) = tan(-x) = -tanx = -f(x).

Vậy y = tanx là hàm số lẻ.