Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\).

- Hàm số đồng biến trên khoảng \((a;b)\) nếu: \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\).

- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((a;b)\) nếu: \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\).

+) Bảng biến thiên:

Mũi tên đi xuống: diễn tả hàm số nghịch biến.

Mũi tên đi lên: diễn tả hàm số đồng biến.

+) Đồ thị:

- Hàm số đồng biến (tăng) thì đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải.

- Hàm số nghịch biến (giảm) thì đồ thị có dạng đi xuống từ trái sang phải.

1) Hàm số \(y = {x^2}\) đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khoảng: \(( - \infty ;0)\) và \((0; + \infty )\).

Giải:

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f(x) = {x^2}\) như hình:

Trên khoảng \(( - \infty ;0)\), đồ thị "đi xuống" từ trái sang phải và với \({x_1},{x_2} \in ( - \infty ;0)\), \({x_1} < {x_2}\) thì \(f({x_1}) > f({x_2})\).

Như vậy, hàm số \(y = {x^2}\) nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\).

Trên khoảng \((0; + \infty )\), đồ thị "đi lên" từ trái sang phải và với \({x_3},{x_4} \in (0; + \infty )\), \({x_3} < {x_4}\) thì \(f({x_3}) < f({x_4})\).

Như vậy, hàm số \(y = {x^2}\) đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\).

2) Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau trên tập xác định hoặc trên khoảng được chỉ định:

a) y = 3x - 1;

b) \(y = {x^2}\) trên khoảng \(( - \infty ;0)\);

c) Hàm số có đồ thị như hình.

Giải:

a) Xét hàm số y = f(x) = 3x - 1.

Hàm số này xác định trên \(\mathbb{R}\).

Lấy \({x_1},{x_2}\) là hai số tuỳ ý sao cho \({x_1} < {x_2}\), ta có: \({x_1} < {x_2} \Rightarrow 3{x_1} < 3{x_2} \Rightarrow 3{x_1} - 1 < 3{x_2} - 1 \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\).

Vậy hàm số đồng biến (tăng) trên \(\mathbb{R}\).

b) Xét hàm số \(y = {x^2}\) trên khoảng \(( - \infty ;0)\).

Lấy \({x_1},{x_2}\) tuỳ ý sao cho \({x_1} < {x_2}\), ta có: \(f({x_1}) - f({x_2}) = x_1^2 - x_2^2 = ({x_1} + {x_2})({x_1} - {x_2})\).

Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_1} - {x_2} < 0\) và do \({x_1},{x_2} \in ( - \infty ;0)\) nên \({x_1} + {x_2} < 0\). Từ đây suy ra \(f({x_1}) - f({x_2}) > 0\) hay \(f({x_1}) > f({x_2})\).

Vậy hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng \(( - \infty ;0)\).

c) Từ đồ thị, ta thấy hàm số xác định trên [-3; 7].

– Trên khoảng (-3; -2), đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải nên hàm số này đồng biến trên khoảng (-3; -2).

– Trên khoảng (-2; 5), đồ thị có dạng đi xuống từ trái sang phải nên hàm số này nghịch biến trên khoảng (-2; 5).

– Trên khoảng (5; 7), đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải nên hàm số này đồng biến trên khoảng (5; 7).