Cho tập hợp khác rỗng \(D \subset \mathbb{R}\). Nếu với mỗi giá trị của x thuộc D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập hợp số thực \(\mathbb{R}\) thì ta có một hàm số.

Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.

Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.

Tập tất cả các giá trị y nhận được, gọi là tập giá trị của hàm số.

Kí hiệu hàm số: y = f(x), \(x \in D\).

Ví dụ minh hoạ:

1)

a) Diện tích S của hình tròn bán kính r được tính theo công thức \(S = \pi {r^2}\). Hỏi S có phải là hàm số của r hay không? Giải thích.

b) Cho công thức \({y^2} = x\). Hỏi y có phải là hàm số của x hay không? Giải thích.

Giải:

a) S là hàm số của r vì mỗi giá trị của r chỉ cho đúng một giá trị của S.

b) y không phải là hàm số của x vì khi x = 1 thì ta tìm được hai giá trị tương ứng của y là 1 và -1.

2) Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{x}\);

b) \(y = \sqrt {x - 1} \).

Giải:

a) Biểu thức \(\frac{1}{x}\) có nghĩa khi \(x \ne 0\).

Vì vậy, tập xác định của hàm số đã cho là: \(D = \{ x \in \mathbb{R}|x \ne 0\}  = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).

b) Biểu thức \(\sqrt {x - 1} \) có nghĩa khi \(x - 1 \ge 0\).

Vì vậy, tập xác định của hàm số đã cho là: \(D = \{ x \in \mathbb{R}|x \ge 1\}  = [1; + \infty )\).

a) Hàm số cho bằng công thức

Hàm số có thể được cho bằng một hoặc nhiều công thức.

Ví dụ: \(y = {x^2}\), \(y = \frac{{\sqrt {x - 2} }}{{x + 1}}\), \(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - x}\\x\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{khi}\\{khi}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0}\\{x > 0}\end{array}\),…

b) Hàm số không cho bằng công thức

Trong thực tiễn, có những tình huống dẫn tới những hàm số không thể cho bằng công thức.

- Hàm số cho bằng bảng:

- Hàm số cho bằng biểu đồ:

- Hàm số mô tả bằng lời.