a) Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và $x_0\in (a;b)$. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại $x_0$ nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$.

Nhận xét: Hàm số f(x) không liên tục tại $x_0$ được gọi là gián đoạn tại $x_0$.

b) Hàm số liên tục trên một đoạn

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu mà hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu hàm số đó liên tục trên khoảng (a;b) và $\underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)=f\left(a\right)$; $\underset{x\to b^{-}}{lim}f\left(x\right)=f\left(b\right)$.

Chú ý: Khái niệm hàm số liên tục trên các tập hợp có dạng (a;b], [a;b), $\left(a;+\infty \right)$, $\left[a;+\infty \right)$, $\left(-\infty ;a\right)$, $\left(-\infty ;a\right]$, $\left(-\infty ;+\infty \right)$ được định nghĩa tương tự.

Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là “đường liền” trên khoảng đó.

a) Tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản

- Các hàm đa thức và hai hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx liên tục trên $R$.

- Các hàm phân thức hữu tỉ và hai hàm số lượng giác y = tanx, y = cotx liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

- Hàm căn thức $y=\sqrt{x}$ liên tục trên nửa khoảng $\left[0;+\infty \right)$.

b) Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục

Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:

- Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại $x_0$.

- Hàm số $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ liên tục tại $x_0$ nếu $g\left(x_0\right)\ne 0$.

1) Xét tính liên tục của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-1}$ tại điểm $x_0=2$.

Giải:

Rõ ràng hàm số $f\left(x\right)$ xác định trên $R\setminus \left\{1\right\}$, do đó $x_0=2$ thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có $\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{lim}\frac{x+1}{x-1}=3=f\left(2\right)$. 

Vậy hàm số $f\left(x\right)$ liên tục tại $x_0=2$.

2)

a) Hàm số $f\left(x\right)=2x+3$ có liên tục trên đoạn [3; 4] hay không?

b) Hàm số $f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2}$ ($x\ne 2$) có liên tục trên khoảng (1; 3) hay không?

Giải:

a) Với mỗi $x_0\in (3;4)$, ta có: 

$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{lim}(2x+3)=2x_0+3=f\left(x_0\right)$. 

Ta lại có: 

$\underset{x\to 3^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{lim}(2x+3)=9=f\left(3\right)$; 

$\underset{x\to 4^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 4^{-}}{lim}(2x+3)=11=f\left(4\right)$.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên đoạn [3; 4].

b) Hàm số $f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-2}$ không xác định tại $x=2$ nên hàm số không liên tục tại $x=2$.

Do $2\in (1;3)$ nên hàm số đã cho không liên tục trên khoảng (1; 3).

3) Cho hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}x+1\\ a\end{array}\begin{array}{c}\\ \end{array}\begin{array}{c}khi\\ khi\end{array}\begin{array}{c}\\ \end{array}\begin{array}{c}x\ne 3\\ x=3\end{array}$. Tìm a để hàm số f(x) liên tục trên $R$. 

Giải:

Do $f\left(x\right)=x+1$ nếu $x\ne 3$ nên hàm số đó liên tục trên mỗi khoảng $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$. 

Với x = 3 thì f(3) = a. Ta có: $\underset{x\to 3}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 3}{lim}(x+1)=3+1=4$. 

Vậy hàm số f(x) liên tục trên $R$ khi hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 3 khi và chỉ khi $\underset{x\to 3}{lim}f\left(x\right)=f\left(3\right)\iff a=4$.

4) Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3+2x+\frac{6}{x-2}$.

a) Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 3.

b) Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên tập xác định của hàm số đó.

Giải:

Tập xác định hàm số là $R\setminus \left\{2\right\}$.

a) Ta thấy:

$\underset{x\to 3}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 3}{lim}\left(x^3+2x+\frac{6}{x-2}\right)=\underset{x\to 3}{lim}{x}^3+\underset{x\to 3}{lim}\left(2x\right)+\underset{x\to 3}{lim}\frac{6}{x-2}=3^3+2.3+\frac{6}{3-2}=f\left(3\right)$.

Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 3.

b) Hàm số $g\left(x\right)=x^3+2x$ là hàm đa thức nên liên tục trên $R$. Do đó, hàm số $g\left(x\right)$ liên tục trên mỗi khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$.

Hàm số $h\left(x\right)=\frac{6}{x-2}$ là hàm số phân thức hữu tỉ liên tục trên mỗi khoảng xác định $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$. Vậy hàm số $f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)$ liên tục trên mỗi khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$.