Cho số thực a dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó m là một số nguyên và n là số nguyên dương. Luỹ thừa của a với số mũ r, kí hiệu là $a^r$, xác định bởi $a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{n{a}^m}$.

Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ (của một số thực dương) có đầy đủ các tính chất như luỹ thừa với số mũ nguyên.

Với $a\ne 0$, $b\ne 0$ và m, n là các số hữu tỉ, ta có:

$a^m.a^n=a^{m+n}$;

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$;

${\left(a^m\right)}^n=a^{m.n}$;

$(ab{)}^m=a^m{b}^m$;

${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}$.

Chú ý:

+ Nếu a > 1 thì $a^m>a^n$ khi và chỉ khi m > n.

+ Nếu 0 < a < 1 thì $a^m>a^n$ khi và chỉ khi m < n.

1) Biểu thị các luỹ thừa sau đây dưới dạng căn thức:

a) $2^{\frac{1}{3}}$;

b) $5^{-\frac{2}{3}}$.

Giải:

a) $2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{32}$;

b) $5^{-\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{35^{-2}}=\sqrt[3]{3\frac{1}{5^2}}=\sqrt[3]{3\frac{1}{25}}$.

2) Tính:

a) ${16}^{\frac{3}{2}}$;

b) $8^{-\frac{2}{3}}$.

Giải:

a) ${16}^{\frac{3}{2}}=\sqrt{{16}^3}=\sqrt{{\left(4^2\right)}^3}=\sqrt{{\left(4^3\right)}^2}=4^3=64$;

b) $8^{-\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{38^{-2}}=\sqrt[3]{3{\left(2^3\right)}^{-2}}=\sqrt[3]{3{\left(2^{-2}\right)}^3}=2^{-2}=\frac{1}{4}$.