Cho a là số thực dương và \(\alpha \) là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ \(\left( {{r_n}} \right)\) mà \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {r_n} = \alpha \). Khi đó, dãy số \(\left( {{a^{{r_n}}}} \right)\) có giới hạn xác định và không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ \(\left( {{r_n}} \right)\) đã chọn. Giới hạn đó gọi là luỹ thừa của a với số mũ \(\alpha \), kí hiệu là \({a^\alpha }\).

\({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {a^{{r_n}}}\)

Luỹ thừa với số mũ thực (của một số dương) có đầy đủ các tính chất như luỹ thừa với số mũ nguyên.

Với \(a \ne 0\), \(b \ne 0\) và m, n là các số thực, ta có:

\({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\);

\(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\);

\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\);

\({(ab)^m} = {a^m}{b^m}\);

\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}\).

Chú ý:

+ Nếu a > 1 thì \({a^m} > {a^n}\) khi và chỉ khi m > n.

+ Nếu 0 < a < 1 thì \({a^m} > {a^n}\) khi và chỉ khi m < n.

1) Rút gọn biểu thức:

a) \(P = \frac{{{a^{\sqrt 5  + 1}}.{a^{7 - \sqrt 5 }}}}{{{{\left( {{a^{3 - \sqrt 2 }}} \right)}^{3 + \sqrt 2 }}}}\) (\(a > 0\)).

b) \(A = \frac{{{a^{\sqrt 5  - 1}}.{a^{3 - \sqrt 5 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 3  + 1}}} \right)}^{\sqrt 3  - 1}}}}\) (\(a > 0\)).

c) \(B = \frac{{{6^{2 + \sqrt 5 }}{{.2}^{1 - \sqrt 5 }}}}{{{3^{3 + \sqrt 5 }}}}\).

Giải:

a) \(a > 0\)\(P = \frac{{{a^{\sqrt 5  + 1}}.{a^{7 - \sqrt 5 }}}}{{{{\left( {{a^{3 - \sqrt 2 }}} \right)}^{3 + \sqrt 2 }}}} = \frac{{{a^{\sqrt 5  + 1 + 7 - \sqrt 5 }}}}{{{a^{(3 - \sqrt 2 )(3 + \sqrt 2 )}}}} = \frac{{{a^8}}}{{{a^7}}} = a\).

b) \(A = \frac{{{a^{\sqrt 5  - 1}}.{a^{3 - \sqrt 5 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 3  + 1}}} \right)}^{\sqrt 3  - 1}}}} = \frac{{{a^{\sqrt 5  - 1 + 3 - \sqrt 5 }}}}{{{a^{(\sqrt 3  + 1)(\sqrt 3  - 1)}}}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^{3 - 1}}}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2}}} = 1\).

c) \(B = \frac{{{6^{2 + \sqrt 5 }}{{.2}^{1 - \sqrt 5 }}}}{{{3^{3 + \sqrt 5 }}}} = \frac{{{{(2.3)}^{2 + \sqrt 5 }}{{.2}^{1 - \sqrt 5 }}}}{{{3^{3 + \sqrt 5 }}}} = {2^{2 + \sqrt 5 }}{.3^{2 + \sqrt 5 }}{.2^{1 - \sqrt 5 }}{.3^{ - 3 - \sqrt 5 }}\)

\( = {2^{2 + \sqrt 5  + 1 - \sqrt 5 }}{.3^{2 + \sqrt 5  - 3 - \sqrt 5 }} = {2^3}{.3^{ - 1}} = \frac{8}{3}\).

2) Không sử dụng máy tính cầm tay, so sánh các số:

a) \({3^{\sqrt 8 }}\) và \({3^3}\);

b) \({8^{\sqrt 3 }}\) và \({4^{2\sqrt 3 }}\).

Giải:

a) Ta có \(3 = \sqrt 9 \). Do 8 < 9 nên \(\sqrt 8  < \sqrt 9 \) hay \(\sqrt 8  < 3\).

Vì cơ số 3 lớn hơn 1 nên \({3^{\sqrt 8 }} < {3^3}\).

b) Ta có: \({8^{\sqrt 3 }} = {\left( {{2^3}} \right)^{\sqrt 3 }} = {2^{3\sqrt 3 }}\) và \({4^{2\sqrt 3 }} = {\left( {{2^2}} \right)^{2\sqrt 3 }} = {2^{4\sqrt 3 }}\).

Vì \(3\sqrt 3  < 4\sqrt 3 \) và 2 > 1 nên \({2^{3\sqrt 3 }} < {2^{4\sqrt 3 }}\). Vậy \({8^{\sqrt 3 }} < {4^{2\sqrt 3 }}\).