Cho a là số thực dương và $\alpha$ là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ $\left(r_n\right)$ mà $\underset{n\to +\infty }{lim}{r}_n=\alpha$. Khi đó, dãy số $\left(a^{r_n}\right)$ có giới hạn xác định và không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ $\left(r_n\right)$ đã chọn. Giới hạn đó gọi là luỹ thừa của a với số mũ $\alpha$, kí hiệu là $a^{\alpha }$.

$a^{\alpha }=\underset{n\to +\infty }{lim}{a}^{r_n}$

Luỹ thừa với số mũ thực (của một số dương) có đầy đủ các tính chất như luỹ thừa với số mũ nguyên.

Với $a\ne 0$, $b\ne 0$ và m, n là các số thực, ta có:

$a^m.a^n=a^{m+n}$;

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$;

${\left(a^m\right)}^n=a^{m.n}$;

$(ab{)}^m=a^m{b}^m$;

${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}$.

Chú ý:

+ Nếu a > 1 thì $a^m>a^n$ khi và chỉ khi m > n.

+ Nếu 0 < a < 1 thì $a^m>a^n$ khi và chỉ khi m < n.

1) Rút gọn biểu thức:

a) $P=\frac{a^{\sqrt{5}+1}.a^{7-\sqrt{5}}}{{\left(a^{3-\sqrt{2}}\right)}^{3+\sqrt{2}}}$ ($a>0$).

b) $A=\frac{a^{\sqrt{5}-1}.a^{3-\sqrt{5}}}{{\left(a^{\sqrt{3}+1}\right)}^{\sqrt{3}-1}}$ ($a>0$).

c) $B=\frac{6^{2+\sqrt{5}}{.2}^{1-\sqrt{5}}}{3^{3+\sqrt{5}}}$.

Giải:

a) $a>0$$P=\frac{a^{\sqrt{5}+1}.a^{7-\sqrt{5}}}{{\left(a^{3-\sqrt{2}}\right)}^{3+\sqrt{2}}}=\frac{a^{\sqrt{5}+1+7-\sqrt{5}}}{a^{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}}=\frac{a^8}{a^7}=a$.

b) $A=\frac{a^{\sqrt{5}-1}.a^{3-\sqrt{5}}}{{\left(a^{\sqrt{3}+1}\right)}^{\sqrt{3}-1}}=\frac{a^{\sqrt{5}-1+3-\sqrt{5}}}{a^{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}}=\frac{a^2}{a^{3-1}}=\frac{a^2}{a^2}=1$.

c) $B=\frac{6^{2+\sqrt{5}}{.2}^{1-\sqrt{5}}}{3^{3+\sqrt{5}}}=\frac{{\left(2.3\right)}^{2+\sqrt{5}}{.2}^{1-\sqrt{5}}}{3^{3+\sqrt{5}}}=2^{2+\sqrt{5}}{.3}^{2+\sqrt{5}}{.2}^{1-\sqrt{5}}{.3}^{-3-\sqrt{5}}$

$=2^{2+\sqrt{5}+1-\sqrt{5}}{.3}^{2+\sqrt{5}-3-\sqrt{5}}=2^3{.3}^{-1}=\frac{8}{3}$.

2) Không sử dụng máy tính cầm tay, so sánh các số:

a) $3^{\sqrt{8}}$ và $3^3$;

b) $8^{\sqrt{3}}$ và $4^{2\sqrt{3}}$.

Giải:

a) Ta có $3=\sqrt{9}$. Do 8 < 9 nên $\sqrt{8}<\sqrt{9}$ hay $\sqrt{8}<3$.

Vì cơ số 3 lớn hơn 1 nên $3^{\sqrt{8}}<3^3$.

b) Ta có: và .

Vì và 2 > 1 nên . Vậy .