Luyện tập chung trang 106 trang 106, 107, 108 Vở thực hành Toán 9
Giải bài 1 trang 106 vở thực hành Toán 9 tập 2
Đề bài
Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng BCEF, CAFD, ABDE là những tứ giác nội tiếp.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Gọi M là trung điểm của BC.
+ Chứng minh \(ME = MB = MC = MF\). Suy ra đường tròn \(\left( {M,MB} \right)\) ngoại tiếp tứ giác \(BCEF\).
+ Chứng minh tương tự ta có \(CAFD\)và \(ABDE\) cũng là các tứ giác nội tiếp.
Lời giải chi tiết
Lấy \(M\) là trung điểm của BC.
Do \(BCE,BCF\) là các tam giác vuông có chung cạnh huyền \(BC\) nên \(ME = MB = MC = MF\).
Do đó đường tròn \(\left( {M,MB} \right)\) ngoại tiếp tứ giác \(BCEF\).
Tương tự, \(CAFD\) và \(ABDE\) cũng là các tứ giác nội tiếp.
Giải bài 2 trang 106 vở thực hành Toán 9 tập 2
Đề bài
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F như hình sau đây. Biết \(\widehat {BEC} = {40^o}\) và \(\widehat {DFC} = {20^o}\), tính số đo các góc của tứ giác ABCD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Tính được \(\hat A + \hat D = {180^ \circ } - \widehat E = {140^ \circ }\), suy ra \(\frac{1}{2}\left( {\widehat {BOC} + \widehat {COD}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOB} + \widehat {BOC}} \right) = {140^o}\), hay \(\frac{1}{2}\left( {{{360}^o} + \widehat {BOC} - \widehat {AOD}} \right) = {140^o}\) nên \(\widehat {DOA} - \widehat {BOC} = {80^o}\) (1)
+ Tương tự tính được \(\widehat {AOB} - \widehat {COD} = {40^o}\) (2)
+ Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có: \(\widehat {AOB} + \widehat {DOA} - \widehat {COD} - \widehat {BOC} = {120^o}\) hay , biết \(sđ\overset\frown{DAB}+sđ\overset\frown{BCD}={{360}^{o}}\)
+ $\widehat{C}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{DAB};\widehat{A}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{BCD}$ nên tính được góc C và A.
+ Trừ vế với vế của (1) cho (2), ta có \(\widehat {DOA} + \widehat {COD} - \widehat {AOB} - \widehat {BOC} = {40^o}\) hay \(sđ\overset\frown{CDA}-sđ\overset\frown{ABC}={{40}^{o}}\), biết \(sđ\overset\frown{CDA}+sđ\overset\frown{ABC}={{360}^{o}}\).
+ $\widehat{B}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{CDA};\widehat{D}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{ABC}$ nên tính được góc B và góc D.
Lời giải chi tiết
Vì tổng các góc trong tam giác \(ADE\) bằng 180o nên \(\hat A + \hat D = {180^ \circ } - \widehat E = {140^ \circ }\).
Do vậy \(\frac{1}{2}\left( {\widehat {BOC} + \widehat {COD}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOB} + \widehat {BOC}} \right) = {140^o}\)
Suy ra \(\frac{1}{2}\left( {{{360}^o} + \widehat {BOC} - \widehat {AOD}} \right) = {140^o}\), hay \(\widehat {DOA} - \widehat {BOC} = {80^o}\) (1)
Mặt khác, tổng các góc trong tam giác ABF bằng 180o nên \(\hat A + \hat B = {180^ \circ } - \widehat F = {160^ \circ }\).
Do vậy \(\frac{1}{2}\left( {\widehat {BOC} + \widehat {COD}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\widehat {COD} + \widehat {DOA}} \right) = {160^o}\)
Suy ra \(\frac{1}{2}\left( {{{360}^o} + \widehat {COD} - \widehat {AOB}} \right) = {160^o}\), hay \(\widehat {AOB} - \widehat {COD} = {40^o}\) (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được \(\widehat {AOB} + \widehat {DOA} - \widehat {COD} - \widehat {BOC} = {120^o}\)
hay \(sđ\overset\frown{DAB}-sđ\overset\frown{BCD}={{120}^{o}}\), chú ý rằng \(sđ\overset\frown{DAB}+sđ\overset\frown{BCD}={{360}^{o}}\)
Suy ra: $\widehat{C}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{DAB}=\frac{{{120}^{o}}+{{360}^{o}}}{4}={{120}^{o}}$; $\widehat{A}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{BCD}=\frac{{{360}^{o}}-{{120}^{o}}}{4}={{60}^{o}}$.
Trừ vế với vế của (1) cho (2), ta được \(\widehat {DOA} + \widehat {COD} - \widehat {AOB} - \widehat {BOC} = {40^o}\)
hay \(sđ\overset\frown{CDA}-sđ\overset\frown{ABC}={{40}^{o}}\), chú ý rằng \(sđ\overset\frown{CDA}+sđ\overset\frown{ABC}={{360}^{o}}\)
Suy ra: $\widehat{B}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{CDA}=\frac{{{40}^{o}}+{{360}^{o}}}{4}={{100}^{o}}$; $\widehat{D}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{ABC}=\frac{{{360}^{o}}-{{40}^{o}}}{4}={{80}^{o}}$.
Giải bài 3 trang 107 vở thực hành Toán 9 tập 2
Đề bài
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm. Tính chu vi, diện tích của các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đường tròn ngoại tiếp của hình vuông có tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính bằng nửa độ dài đường chéo.
Lời giải chi tiết
Gọi là tâm của hình vuông, là trung điểm của cạnh và là bán kính đường tròn ngoại tiếp của hình vuông .
Ta có: .
Vậy đường tròn ngoại tiếp hình vuông có chu vi và diện tích lần lượt là:
Giải bài 4 trang 108 vở thực hành Toán 9 tập 2
Đề bài
Biết rằng bốn đỉnh A, B, C, D của một hình vuông cùng nằm trên một đường tròn (O) theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ. Phép quay thuận chiều biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm E, F, G, H.
a) Vẽ đa giác EAFBGCHD.
b) Đa giác EAFBGCHD có phải là một hình bát giác đều hay không? Vì sao?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Phép quay thuận chiều tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A khác điểm O thành điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OB thì điểm A tạo nên cung AB có số đo .
b) + Chứng minh các tam giác AOE, BOF, COG, DOH, EOD, FOA, GOB, HOC bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh.
Suy ra EA = AF = FB = BG = GC = CH = HD = DE.
+ Bát giác lồi có các cạnh bằng nhau và nội tiếp đường tròn
Suy ra, các đỉnh của bát giác chia đường tròn thành 8 cung nhỏ với số đo mỗi cũng là 45o.
Từ đó, tính được các góc của bát giác bằng nhau và bằng 270 độ.
Do đó, là bát giác đều.
Lời giải chi tiết
a) Các điểm cùng nằm trên đường tròn và được vẽ như hình bên.
Do nên (vì các tam giác vuông cân tại O).
Do vậy các tam giác AOE, BOF, COG, DOH, EOD, FOA, GOB, HOC bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh.
Suy ra EA = AF = FB = BG = GC = CH = HD = DE.
Vậy bát giác lồi có các cạnh bằng nhau và nội tiếp đường tròn
Hơn nữa các đỉnh của bát giác chia đường tròn thành 8 cung nhỏ với số đo mỗi cũng là 45o.
Do vậy các góc của bát giác lồi là các góc nội tiếp chắn đúng 6 cung nhỏ trên nên bằng nhau và có số đo bằng .
Vậy là bát giác đều.
Giải bài 5 trang 108 vở thực hành Toán 9 tập 2
Đề bài
Cho ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn (O) như hình bên.
a) Hãy tìm một phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm C.
b) Phép quay trên sẽ biến các điểm B, C, D, E lần lượt thành những điểm nào? Phép quay này có giữ nguyên ngũ giác đều ABCDE không?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Phép quay thuận chiều tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A khác điểm O thành điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OB thì điểm A tạo nên cung AB có số đo .
+ Một phép quay được gọi là giữ nguyên một đa giác đều H nếu phép quay đó biến mỗi điểm của H thành một điểm của H.
Lời giải chi tiết
a) Ta thấy .
Vậy phép quay ngược chiều tâm O biến điểm thành điểm
b) Phép quay trên lần lượt biến thành .
Như vậy phép quay này biến các đỉnh của ngũ giác đều thành các đỉnh của chính nó.
Do vậy phép quay này giữ nguyên ngũ giác đều .
Giải bài 7 trang 109 vở thực hành Toán 9 tập 2
Đề bài
Hãy tính độ dài của cạnh của bát giác đều nội tiếp một đường tròn bán kính √2cm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Gọi AB là một cạnh của bát giác đều và (O) là đường tròn ngoại tiếp bát giác đều.
+ Khi đó OAB là tam giác cân tại O có cạnh bên OA=OB=√2cm và góc ở đỉnh ˆAOB=360o8=45o.
+ Kẻ đường cao AH của tam giác OAB. Khi đó AHO là tam giác vuông cân tại H.
+ Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OAH vuông tại H ta tính được HO, AH.
+ Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác AHB vuông tại H ta tính được AB.
Lời giải chi tiết
Gọi AB là một cạnh của bát giác đều và (O) là đường tròn ngoại tiếp bát giác đều.
Khi đó OAB là tam giác cân tại O có cạnh bên OA=OB=√2cm và góc ở đỉnh ˆAOB=360o8=45o.
Kẻ đường cao AH của tam giác OAB. Khi đó AHO là tam giác vuông cân tại H.
Theo định lí Pythagore cho tam giác OAH vuông tại H, ta có OA2=OH2+HA2=2HA2.
Suy ra HO=HA=OA√2=1(cm).
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác AHB vuông tại H, ta được:
Giải bài 8 trang 109 vở thực hành Toán 9 tập 2
Đề bài
Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn (O). Chứng tỏ rằng nếu một phép quay biến A, B thành B, C thì phép quay đó giữ nguyên lục giác đều ABCDEF.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phép quay thuận chiều αo(0o<αo<360o) tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A khác điểm O thành điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OB thì điểm A tạo nên cung AB có số đo .
Lời giải chi tiết
Vì phép quay biến A thành B và biến B thành C nên tâm của phép quay này nằm trên các đường trung trực của các đoạn thẳng AB và BC.
Do hai đường trung trực của hai đoạn thẳng AB, BC cắt nhau tại O (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) nên O chính là tâm của phép quay nói trên.
Do nên phép quay trên là phép quay thuận chiều hoặc ngược chiều với tâm O.
Cả hai phép quay thuận chiều hoặc ngược chiều với tâm O đều giữ nguyên lục giác đều.
Do đó phép quay đã cho giữ nguyên lục giác đều.
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP9
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!