Luyện tập chung trang 119 trang 119, 120, 121 Vở thực hành Toán 9

Giải bài 1 trang 119 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau, điểm O nằm trong phần mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng đó. Biết rằng khoảng cách từ O đến a và b lần lượt bằng 2cm và 3cm.

a) Hỏi bán kính R của đường tròn (O; R) phải thỏa mãn điều kiện gì để (O; R) cắt cả hai đường thẳng a và b?

b) Biết rằng đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng a. Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn (O; R) và đường thẳng b.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện để (O; R) cắt cả hai đường thẳng a và b là .

b) Khi (O; R) tiếp xúc với a, ta có , nhỏ hơn khoảng cách từ O đến đường thẳng b nên đường thẳng b cắt đường tròn (O; R).

Giải bài 2 trang 119, 120 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Khi chuyển động, giả sử đầu mũi kim dài của một chiếc đồng hồ vạch nên một đường tròn, kí hiệu là (T1), trong khi đầu mũi kim ngắn vạch nên một đường tròn khác, kí hiệu là (T2).

a) Hai đường tròn (T1) và (T2) có vị trí tương đối như thế nào?

b) Giả sử bán kính của (T1) và (T2) lần lượt là và . Người ta vẽ trên mặt đồng hồ một họa tiết hình tròn có tâm nằm cách điểm trục kim đồng hồ một khoảng bằng và có bán kính bằng . Hãy cho biết vị trí tương đối của đường tròn (T3) đối với mỗi đường tròn (T1) và (T2). Vẽ ba đường tròn đó nếu và .

Lời giải chi tiết

(H.5.39)

a) (T1) và (T2) là hai đường tròn đựng nhau, (T1) đựng (T2) với tâm O là điểm trục của hai kim đồng hồ.

b) (T2) là đường tròn tạo bởi đầu kim ngắn nên (1).

Gọi O’ là tâm và là bán kính của đường tròn (T3). Theo đề bài, ta có: và (2)

+ Xét hai đường tròn (T1) và (T3), tức là hai đường tròn và . Từ (1) và (2), ta có: , suy ra .

Do đó, (T1) đựng (T3).

+ Xét hai đường tròn (T2) và (T3), tức là hai đường tròn và . Từ (2) ta có: (3)

Mặt khác, . Do đó:

- Nếu thì , tức là . Kết hợp với (3) ta thấy (T2) và (T3) cắt nhau.

- Nếu thì , tức là và ta có (T2) và (T3) tiếp xúc với nhau.

- Nếu thì , tức là và ta có (T2) và (T3) ngoài nhau.

Giải bài 3 trang 120, 121 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Cho đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến xx’ tại A và tiếp tuyến yy’ tại B của (O). Một tiếp tuyến thứ ba của (O) tại điểm P (P khác A và B) cắt xx’ tại M và cắt yy’ tại N.

a) Chứng minh rằng .

b) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với AB cắt MN tại Q. Chứng minh rằng Q là trung điểm của đoạn MN.

c) Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN.

Lời giải chi tiết

(H.5.40)

a) Ta có: . Mặt khác MA và MP là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên .

Tương tự, ta cũng có . Cộng từng vế hai đẳng thức trên ta được: (điều phải chứng minh).

b) Do (giả thiết), và (MA, NB là tiếp tuyến của (O) tại A và B) nên OQ//MA//NB. Nối A với N cắt OQ tại C.

Trong tam giác ABN, đường thẳng OQ đi qua trung điểm của cạnh AB và song song với BN nên C là trung điểm của AN.

Trong tam giác AMN, đường thẳng OQ đi qua trung điểm của AN và song song với AM nên Q là trung điểm của MN.

c) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, OM là tia phân giác của góc AOP và ON là tia phân giác của góc POB. Khi đó:

Do đó, tam giác MON là tam giác vuông tại O với OQ là đường trung tuyến. Từ đó ta có . Vậy đường tròn đường kính MN, cũng là đường tròn tâm Q đi qua O. Do đó, AB vuông góc với bán kính OQ tại O. Suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN.

Nói cách khác, AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN.