Luyện tập chung trang 84, 85 Vở thực hành Toán 7

Giải bài 1 (9.31) trang 84 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân.

Lời giải chi tiết

Ta có AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.

Xét hai tam giác vuông ABM và ACM, ta có: , AM chung nên (cgv- cgv), suy ra .

Giải bài 2 (9.32) trang 84 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng A, B, C. Gọi d là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại A. Với điểm M thuộc d, M khác A, vẽ đường thẳng CM. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CM, cắt d tại N. Chứng minh đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng CN.

Lời giải chi tiết

Gọi giao của BN và CM là F thì tại F.

Trong tam giác MNC có (vì tại A), , AC giao với NF tại B nên B là trực tâm của tam giác MNC.

Suy ra BM là đường cao của tam giác MNC hay BM vuông góc với đường thẳng CN.

Giải bài 5 trang 85, 86 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH .

a) Chứng minh .

b) Từ H kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại D. Chứng minh .

c) Gọi M là trung điểm của AC, CD cắt AH tại G. Chứng minh ba điểm B, G, M thẳng hàng.

d) Chứng minh chu vi lớn hơn .

Lời giải chi tiết

a) Xét hai tam giác vuông và có:

AH chung, nên (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

b) Từ câu a) , suy ra (hai góc tương ứng).

Ta có AC//HD, suy ra (so le trong), từ đó nên ADH cân tại D, suy ra . (1).

c) Ta có (vì tam giác AHB vuông tại H), (vì AH vuông góc với BC tại H). Vì nên , suy ra tam giác BHD cân tại D, do đó . (2).

Từ (1) và (2) suy ra D là trung điểm của AB.

Tam giác ABC có CD, AH là hai trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Khi đó, BG là trung tuyến, M là trung điểm của AC nên BG đi qua M, tức B, G, M thẳng hàng.

d) Trên tia BM lấy điểm K sao cho M là trung điểm của BK, khi đó .

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên . Từ đó .

Ta chứng minh được , suy ra .

Trong tam giác ABK, ta có:

hay , mà nên . (3)

Trong tam giác vuông AHC, ta có . (4)

Từ (3) và (4) suy ra .

Giải bài 3 (9.34) trang 84 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC. Kẻ tia phân giác At của góc tạo bởi tia AB và tia đối của tia AC. Chứng minh rằng nếu đường thẳng chứa tia At song song với đường thẳng BC thì tam giác ABC cân tại A.

Lời giải chi tiết

Gọi tia đối của tia AC là Am. Ta có tia At chia góc mAB thành hai góc và , .

Vì At//BC nên ta có .

Suy ra . Vậy ABC là tam giác cân tại A.

Giải bài 4 (9.35) trang 84, 85 vở thực hành Toán 7 tập 2

Đề bài

Kí hiệu là diện tích tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh .

Gợi ý. Sử dụng để chứng minh .

b) Chứng minh .

Nhận xét. Từ bài tập trên ta có: , điều này giúp ta cảm nhận tại sao có thể đặt thăng bằng miếng bìa hình tam giác trên giá nhọn đặt tại trọng tâm của tam giác đó.

Lời giải chi tiết

a) Ta có .

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên , suy ra .

Suy ra: .

b) Tương tự nên

Vì nên

Vậy