Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

+) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:

$a x + b y \leq c (a x + b y \geq c, a x + b y < c, a x + b y > c)$ trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Ví dụ: $2 x + 3 y > 10$ .

+) Cặp số $(x_{0}; y_{0})$ được gọi là một nghiệm của BPT bậc nhất hai ẩn $a x + b y \leq c$ nếu bất đẳng thức $a x_{0} + b y_{0} \leq c$ đúng.

Ví dụ: Cặp số $(3; 5)$ là một nghiệm của BPT $2 x + 3 y > 10$ vì $2.3 + 3.5 = 21 > 10$ .

+) BPT bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

+) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình $a x + b y \leq c$ được gọi là miền nghiệm của BPT đó.

+) Đường thẳng $d : a x + b y = c$ chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng bờ d:

- Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn $a x + b y > c$ .

- Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn $a x + b y < c$ .

- Bờ d gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn $a x + b y = c$ .

+) Cách biểu diễn miền nghiệm của BPT $a x + b y \leq c$ :

Bước 1: Vẽ đường thẳng $d : a x + b y = c$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bước 2: Lấy một điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ không thuộc d.

Bước 3: Tính $a x_{0} + b y_{0}$ và so sánh với c.

Bước 4: Nếu $a x_{0} + b y_{0} < c$ thì nửa mặt phẳng bờ d chứa $M_{0}$ là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu $a x_{0} + b y_{0} > c$ thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa $M_{0}$ là miền nghiệm của BPT.

* Chú ý:

- Nếu $c \neq 0$ ta thường chọn $M_{0}$ là gốc tọa độ.

- Nếu $c = 0$ ta thường chọn $M_{0}$ có tọa độ $(1; 0)$ hoặc $(0; 1) .$

- Miền nghiệm của BPT $a x + b y < c$ là miền nghiệm của BPT $a x + b y \leq c$ bỏ đi đường thẳng $a x + b y = c$ và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.

Ví dụ minh hoạ:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ${\begin{cases} 2 x - y > 2 \\ 3 x + y \leq 6 \end{cases}$ .

Giải:

- Xác định miền nghiệm của BPT $2 x - y > 2$ :

Vẽ đường thẳng $Δ : 2 x - y = 2$ (nét đứt) đi qua (1;0) và (0; -2).

Lấy điểm $O (0; 0)$ không thuộc $Δ$ . Ta có $2.0 - 0 = 0$ và $c = 2$ .

Vì $2.0 - 0 = 0 < 2$ nên điểm $O (0; 0)$ không thuộc miền nghiệm.

Vậy miền nghiệm của BPT $2 x - y > 2$ là nửa mặt phẳng (không kể bờ $Δ$ ) không chứa điểm $O (0; 0)$ (miền không gạch chéo).

- Xác định miền nghiệm của BPT $3 x + y \leq 6$ :

Vẽ đường thẳng $d : 3 x + y = 6$ (nét liền) đi qua (2;0) và (0;6).

Lấy điểm $O (0; 0)$ không thuộc $d$ . Ta có $3.0 + 0 = 0$ và $c = 6$ .

Vì $3.0 + 0 = 0 \leq 6$ nên điểm $O (0; 0)$ thuộc miền nghiệm.

Vậy miền nghiệm của BPT $3 x + y \leq 6$ là nửa mặt phẳng (kể cả bờ $d$ ) chứa điểm $O (0; 0)$ (miền không gạch chéo).

Miền không bị gạch (kể cả d, không kể $Δ$ ) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.