Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

+) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:

$a x + b y \leq c (a x + b y \geq c, a x + b y < c, a x + b y > c)$ trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Ví dụ: $2 x + 3 y > 10$ .

+) Cặp số $(x_{0}; y_{0})$ được gọi là một nghiệm của BPT bậc nhất hai ẩn $a x + b y \leq c$ nếu bất đẳng thức $a x_{0} + b y_{0} \leq c$ đúng.

Ví dụ: Cặp số $(3; 5)$ là một nghiệm của BPT $2 x + 3 y > 10$ vì $2.3 + 3.5 = 21 > 10$ .

+) BPT bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

+) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình $a x + b y \leq c$ được gọi là miền nghiệm của BPT đó.

+) Đường thẳng $d : a x + b y = c$ chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng bờ d:

- Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn $a x + b y > c$ .

- Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn $a x + b y < c$ .

- Bờ d gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn $a x + b y = c$ .

+) Cách biểu diễn miền nghiệm của BPT $a x + b y \leq c$ :

Bước 1: Vẽ đường thẳng $d : a x + b y = c$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bước 2: Lấy một điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ không thuộc d.

Bước 3: Tính $a x_{0} + b y_{0}$ và so sánh với c.

Bước 4: Nếu $a x_{0} + b y_{0} < c$ thì nửa mặt phẳng bờ d chứa $M_{0}$ là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu $a x_{0} + b y_{0} > c$ thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa $M_{0}$ là miền nghiệm của BPT.

* Chú ý:

- Nếu $c \neq 0$ ta thường chọn $M_{0}$ là gốc tọa độ.

- Nếu $c = 0$ ta thường chọn $M_{0}$ có tọa độ $(1; 0)$ hoặc $(0; 1) .$

- Miền nghiệm của BPT $a x + b y < c$ là miền nghiệm của BPT $a x + b y \leq c$ bỏ đi đường thẳng $a x + b y = c$ và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.

Ví dụ minh hoạ:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ${\begin{cases} 2 x - y > 2 \\ 3 x + y \leq 6 \end{cases}$ .

Giải:

- Xác định miền nghiệm của BPT $2 x - y > 2$ :

Vẽ đường thẳng $Δ : 2 x - y = 2$ (nét đứt) đi qua (1;0) và (0; -2).

Lấy điểm $O (0; 0)$ không thuộc $Δ$ . Ta có $2.0 - 0 = 0$ và $c = 2$ .

Vì $2.0 - 0 = 0 < 2$ nên điểm $O (0; 0)$ không thuộc miền nghiệm.

Vậy miền nghiệm của BPT $2 x - y > 2$ là nửa mặt phẳng (không kể bờ $Δ$ ) không chứa điểm $O (0; 0)$ (miền không gạch chéo).

- Xác định miền nghiệm của BPT $3 x + y \leq 6$ :

Vẽ đường thẳng $d : 3 x + y = 6$ (nét liền) đi qua (2;0) và (0;6).

Lấy điểm $O (0; 0)$ không thuộc $d$ . Ta có $3.0 + 0 = 0$ và $c = 6$ .

Vì $3.0 + 0 = 0 \leq 6$ nên điểm $O (0; 0)$ thuộc miền nghiệm.

Vậy miền nghiệm của BPT $3 x + y \leq 6$ là nửa mặt phẳng (kể cả bờ $d$ ) chứa điểm $O (0; 0)$ (miền không gạch chéo).

Miền không bị gạch (kể cả d, không kể $Δ$ ) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.