Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất một ẩn Toán 9 Cánh diều

1. Mở đầu về bất phương trình bậc nhất một ẩn

Một bất phương trình với ẩn x có dạng $A\left(x\right)>B\left(x\right)$ (hoặc $A\left(x\right)<B\left(x\right),A\left(x\right)\ge B\left(x\right),A\left(x\right)\le B\left(x\right)$) trong đó vế trái $A\left(x\right)$ và vế phải $B\left(x\right)$ là hai biểu thức của cùng một biến x.

Nghiệm của bất phương trình

Khi thay giá trị $x=a$ vào bất phương trình với ẩn x, ta được một khẳng định đúng thì số a (hay giá trị $x=a$) gọi là nghiệm của bất phương trình đó. Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ:

Số -2 là nghiệm của bất phương trình $2x-10<0$ vì $2.\left(-2\right)-10=-4-10=-14<0$.

Số 6 không là nghiệm của bất phương trình $2x-10<0$ vì $2.6-10=12-10=2>0$.

2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Định nghĩa

Bất phương trình dạng $ax+b>0$ (hoặc $ax+b<0,ax+b\ge 0,ax+b\le 0$) với a, b là hai số đã cho và $a\ne 0$ được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ: $3x+16\le 0$; $-3x>0$ là các bất phương trình bậc nhất một ẩn x.

$x^2-4\ge 0$ không phải là một bất phương trình bậc nhất một ẩn x vì $x^2-4$ là một đa thức bậc hai.

$3x-2y<2$ không phải là một bất phương trình bậc nhất một ẩn vì đa thức $3x-2y$ là đa thức với hai biến x và y.

Cách giải

Bất phương trình bậc nhất một ẩn $ax+b>0$ (với $a>0$) được giải như sau: $\begin{array}{c}ax+b>0\\ ax>-b\\ x>\frac{-b}{a}.\end{array}$ Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x>\frac{-b}{a}$.

Bất phương trình bậc nhất một ẩn $ax+b>0$ (với $a<0$) được giải như sau: $\begin{array}{c}ax+b>0\\ ax>-b\\ x<\frac{-b}{a}.\end{array}$ Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x<\frac{-b}{a}$.

Chú ý: Các bất phương trình $ax+b<0$, $ax+b\le 0$, $ax+b\ge 0$ với a, b là hai số đã cho và $a\ne 0$ được giải bằng cách tương tự.

Ví dụ: Giải bất phương trình $-2x-4>0$

Lời giải: Ta có:

$\begin{array}{c}-2x-4>0\\ -2x>0+4\\ -2x>4\\ x<4.\left(-\frac{1}{2}\right)\\ x<-2\end{array}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x<-2$.

Chú ý: Ta cũng có thể giải được các bất phương trình dạng $ax+b>cx+d;ax+b<cx+d;ax+b\ge cx+d;ax+b\le cx+d$ bằng cách đưa bất phương trình về dạng $ax+b<0$, $ax+b>0$, $ax+b\le 0$, $ax+b\ge 0$.