Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất một ẩn Toán 9 Chân trời sáng tạo

1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn, nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn

Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình dạng $ax+b<0$ (hoặc $ax+b>0$; $ax+b\le 0$; $ax+b\ge 0$) trong đó a, b là hai số đã cho, $a\ne 0$ được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn (ẩn là x).

Ví dụ: $3x+16\le 0$; $-3x>0$ là các bất phương trình bậc nhất một ẩn x.

$x^2-4\ge 0$ không phải là một bất phương trình bậc nhất một ẩn x vì $x^2-4$ là một đa thức bậc hai.

$3x-2y<2$ không phải là một bất phương trình bậc nhất một ẩn vì đa thức $3x-2y$ là đa thức với hai biến x và y.

Nghiệm của bất phương trình

Với bất phương trình bậc nhất có ẩn là x, số $x_0$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình nếu ta thay $x=x_0$ thì nhận được một khẳng định đúng. Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Ví dụ:

$x=-2$ là nghiệm của bất phương trình $2x-10<0$ vì $2.\left(-2\right)-10=-4-10=-14<0$.

$x=6$ không là nghiệm của bất phương trình $2x-10<0$ vì $2.6-10=12-10=2>0$.

2. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Xét bất phương trình $ax+b>0\left(a\ne 0\right)$. - Cộng hai vế của bất phương trình với –b, ta được bất phương trình: $ax>-b$. - Nhân hai vế của bất phương trình nhận được với $\frac{1}{a}$: + Nếu $a>0$ thì nhận được nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x>-\frac{b}{a}$. + Nếu $a<0$ thì nhận được nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x<-\frac{b}{a}$.

Chú ý: Với các bất phương trình $ax+b<0$, $ax+b\le 0$, $ax+b\ge 0$, ta thực hiện các bước giải tương tự.

Ví dụ: Giải bất phương trình $-2x-4>0$

Lời giải: Ta có:

$\begin{array}{c}-2x-4>0\\ -2x>0+4\\ -2x>4\\ x<4.\left(-\frac{1}{2}\right)\\ x<-2\end{array}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x<-2$.

Chú ý: Bằng cách sử dụng các tính chất của bất đẳng thức, ta có thể giải một số bất phương trình đưa được về bất phương trình bậc nhất một ẩn $ax+b<0$, $ax+b>0$, $ax+b\le 0$, $ax+b\ge 0$.